Упрощенно обогащенная категория ⇐ Васина Википедия

[wiki_de]

'''Симплициально обогащенная категория''' (часто называемая для краткости '''симплициальной категорией''', хотя это может привести к путанице) находится в математическом подразделе теории категорий, который обогащен выше категория симплициальных множеств Категория. В теории высших категорий их можно использовать как возможное моделирование бесконечных категорий|∞-категорий. Другие возможности включают симплициальные множества, топологически обогащенные категории, пространства Сигала и категории Сигала.

== Определение ==
Симплициально обогащенная категория \mathcal {C} — это локально малая категория|локально малая категория, обогащенная по категории \mathbf{sSet} симплициального набора|симплициальных множеств, т.е. упрощено, что для всех объектов X,Y\in\operatorname{Ob}\mathcal{C} Hom устанавливает \operatorname{Hom}_\mathcal{C}(X,Y)< /math> являются симплициальными множествами (т. е. лежат в \operatorname{Ob}\mathbf{sSet}), а морфизмы, индуцированные композицией на них, также являются морфизмами между симплициальными множествами (т. е. в \ имя_оператора{Ar}\mathbf{sSet}). Категория упрощенно обогащенных категорий (уже не маленькая локально) обозначается как \mathbf{Cat}_\mathbf{sSet}.''Высшая теория топоса'', определение 1.1.4.1.

== Примеры ==
* \mathbf{sSet} сам по себе является упрощенно обогащенной категорией. Их внутренний функтор Hom для симплициальных множеств Y,Z\in\operatorname{Ob}\mathbf{sSet определяется формулой:''Высшие категории и гомотопическая алгебра'', обозначение 1.1. .
*: \mathbf{Hom}_{\mathbf{sSet(Y,Z)_n
:=\operatorname{Hom}(\Delta^n\times Y,Z).

== Подключение к топологическим категориям ==

: \forall X,Y\in\operatorname{Ob}\mathcal{C}\colon
\operatorname{Hom}_{|\mathcal{C}|}(X,Y)
:=|\operatorname{Hom}_{\mathcal{C(X,Y)|.

Таким образом, топологически обогащенная категория \mathcal {C} создает упрощенно обогащенную категорию \operatorname{Sing}(\mathcal {C}) с помощью:Kerodon, [https ://kerodon.net/tag/00KJ Пример 2.4.2.16]

: \forall X,Y\in\operatorname{Ob}\mathcal{C}\colon
\operatorname{Hom}_{\operatorname{Sing}(\mathcal{C})}(X,Y)
:=\operatorname{Sing}(\operatorname{Hom}_{\mathcal{C(X,Y)).

== Гомотопическая категория симплициально обогащенной категории ==
Гомотопическая категория|гомотопическая категория упрощенно обогащенной категории \mathcal{C}:Kerodon, [https://kerodon.net/tag/00LX Construction 2.4.6.1]

: \operatorname{Ob}\operatorname{Ho}(\mathcal{C})
=\operatorname{Ob}\mathcal{C}
: \forall X,Y\in\operatorname{Ob}\mathcal{C}=\operatorname{Ob}\operatorname{Ho}(\mathcal{C})\colon
\operatorname{Hom}_{\operatorname{Ho}(\mathcal{C})}(X,Y)
=\pi_0\operatorname{Hom}_{\mathcal{C(X,Y)
\cong\pi_0|\operatorname{Hom}_{\mathcal{C(X,Y)|

Вместе с Топологически обогащенной категорией#Гомотопической категорией топологически обогащенной категории|Гомотопической категорией топологически обогащенной категории эта операция совместима с приведенными выше преобразованиями топологически и упрощенно обогащенных категорий друг в друга: Для топологически обогащенной категории \mathcal{ C значит, существует канонический изоморфизм \operatorname{Ho}(\mathcal{C})
\cong\operatorname{Ho}(\operatorname{Sing}(\mathcal{C})) и для упрощенно обогащенной категории \mathcal{C} существует канонический изоморфизм < math >\operatorname{Ho}(\mathcal{C})
\cong\operatorname{Ho}(|\mathcal{C}|).

== Литература ==

* *

* nlab:topologically+enriched+category|упрощенно обогащенная категория на 𝑛Lab|nLab (английский язык|английский)
* Джейкоб Лурье, [https://kerodon.net/ Kerodon] (добавлен контент из «Высшей теории топоса»)



Категория:Теория категорий

Подробнее: https://de.wikipedia.org/wiki/Simplizia ... _Kategorie