Сцепление векторфельд ⇐ Васина Википедия

[wiki_de]

'''Симплектическое векторное поле''' — это в математике|математическом подполе симплектической геометрии|симплектической геометрии (в свою очередь, подполе дифференциальной геометрии) специальное векторное поле#векторные поля на многообразиях|гладкое векторное поле на симплектическое многообразие|симплектическое многообразие, с симплектической формой которого|симплектическая форма которого совместима.

== Определение ==
Для симплектического многообразия (M,\omega) — это векторное поле#векторные поля на многообразиях|гладкое векторное поле X\in \mathfrak{X}(M) с < math>\ mathcal{L}_X\omega=0 — симплектическое векторное поле. С формулой Картана \mathcal{L}_X=\mathrm{d}i_X+i_X\mathrm{d} и замкнутой дифференциальной формой|замкнутости \mathrm{d}\omega=0 за симплектической формой \omega следует эквивалентное условие замыкания \mathrm{d}i_X\omega=\mathrm{d}(\omega(X,-)) =0 формы i_X\omega=\omega(X,-).McDuff & Salamon 1998, стр. 83Брылинский 2007, 2.3.1. Предложение

== Свойства ==

* Линейные комбинации симплектических векторных полей являются симплектическим векторными полями. Для скаляров a,b\in \mathbb {R} и симплектических векторных полей X,Y\in \mathfrak{X}(M) применяется с линейностью Картана дифференциал \mathrm{d} и билинейность симплектической формы \omega:
*: \mathrm{d}(\omega(aX+bY,-))
=\mathrm{d}(a\omega(X,-)+b\omega(Y,-))
=a\mathrm{d}(\omega(X,-))+b\mathrm{d}(\omega(Y,-))
=0.
* Скобки Ли симплектических векторных полей являются симплектическим векторными полями. Для симплектических векторных полей X,Y\in \mathfrak{X}(M):
*: \mathcal{L}_{[X,Y]}\omega
=[\mathcal{L}_X,\mathcal{L}_Y]\omega
=0.

== Алгебра Ли симплектических векторных полей ==
Согласно леммам, симплектические векторные поля на симплектическом многообразии (M,\omega) образуют векторное пространство, а со скобкой Ли [-,-] даже лиевое алгебра, обозначенная как \mathfrak{Symp}(M,\omega). Это для M Замкнутое многообразие|замкнутая алгебра Ли группы Ли симплектических диффеоморфизмов \operatorname{Symp}(M,\omega).Макдафф и Саламон 1998, предложение 3.2

== Связь с когомологиями Де Рама ==
По определению, для симплектического векторного поля X форма 1 i_X\omega замкнута и, следовательно, создает элемент [i_X\ omega] \in H_\mathrm{dR}^1(M) первых когомологий Де Рама. Ввиду билинейности симплектической формы \omega это присвоение является линейным отображением:

: \mathfrak{Symp}(M,\omega)\rightarrow H_\mathrm{dR}^1(M),X\mapsto i_X\omega.

== См. также ==

* nlab:symplectic+vector+field|симплектическое векторное поле в nLab (английский язык|английский)

== Литература ==

* *
== Свойства ==


Категория:Симплектическая топология

Подробнее: https://de.wikipedia.org/wiki/Symplektisches_Vektorfeld