Ментальный расчет ⇐ Васина Википедия

[wiki_de]

На основе вашего запроса и предоставленной информации я объясню и применю ряд Тейлора до 3-го порядка (также называемый полиномом Тейлора 3-й степени). Вот подробное объяснение на немецком языке:

== Ряд Тейлора 3-го порядка ==
Ряд Тейлора третьего порядка для функции f(x) вокруг точки a:

f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f''' (a)}{3!}(x-a)^3

Это:

* f(a) значение функции в точке a
* f'(a), f''(a), f'''(a) первая, вторая и третья производные функции в точке a
* (x-a) разница между x и точкой развития a

=== Применение к корню 13-го числа ===
Для вычисления корня 13-й степени мы используем функцию f(x) = x^(1/13). Разработаем эту функцию вокруг соответствующей точки a.

Для нашего примера корня 13-й степени из 10 000 мы выбираем a = 8192 (2^13), поскольку знаем, что 8192^(1/13) = 2.

Производные функции f(x) = x^(1/13):

* f'(x) = (1/13) * x^(-12/13)
* f''(x) = (-12/169) * x^(-25/13)''
* f'''(x) = (300/2197) * x^(-38/13)'''

Теперь подставим это в нашу формулу Тейлора:

f(x) \approx 2 + \frac{1}{13 \cdot 8192^{12/13(x-8192) - \frac{12}{338 \cdot 8192^{25/13(x- 8192)^2 + \frac{100}{8788 \cdot 8192^{38/13(x-8192)^3

=== Расчет ===
Для x = 10 000:

1. Первый член: 2 2. Второй член: (1/13 * 8192^(-12/13)) * 1808 ≈ 0,3392 3. Третий член: (-12/(338 * 8192^(25/13)) * 1808^2 ≈ -0,0305 4. Четвертый член: (100/(8788 * 8192^(38/13))) * 1808^3 ≈ 0,0008

Сумма всех слагаемых: 2 + 0,3392 - 0,0305 + 0,0008 ≈ 2,3095

=== Результат ===
Аппроксимация корня 13-й степени из 10 000 с помощью ряда Тейлора 3-го порядка дает около 2,3095.

=== Точность ===
Фактическое значение корня 13-й степени из 10 000 составляет примерно 2,0338. Приближение ряда Тейлора 3-го порядка дает лучшую оценку, чем 2-го порядка, но оно все равно завышает значение.

Этот метод показывает, как ряд Тейлора можно использовать для аппроксимации комплексных корней. Точность можно повысить, выбрав лучшую точку развития или используя более высокие порядки.

Цитаты: [1] https://www.solumaths.com/de/rechner/be ... ntwicklung [2] http://elsenaju.info/Rechner/Taylorreihe.htm [3] https://de.numberempire.com /taylorserieexpansion.php [4] https://www.youtube.com/watch?v=184x9UWTe2g [5] https://studyflix.de/mathematik/taylorreihe-910

Подробнее: https://de.wikipedia.org/wiki/Mentale_Berechnung