Гипотеза Якоби ⇐ Васина Википедия

[wiki_de]

В математике «гипотеза Якобиана» — известная нерешенная проблема, связанная с полиномами от нескольких переменных (математика). Он утверждает, что если полиномиальная функция в n-мерном пространстве имеет определитель Якобиана, который имеет ненулевое значение, из этого следует, что эта функция имеет полиномиальную обратную функцию. Эта гипотеза была впервые выдвинута в 1939 году Оттом-Генрихом Келлером, Keller, Ott-Heinrich (1939), «Ganze Cremona-Transformationen», Monathefte für Mathematics and Physics, 47 (1): 299–306, doi: 10.1007/ BF01695502, ISSN 0026-9255
и далее популяризирован Шрирамом Абхьянкаром как пример сложного вопроса алгебраической геометрии | алгебраической геометрии, который можно понять даже при небольшом опыте в дифференциальном исчислении.

Гипотеза Якобиана известна большим количеством попыток ее доказательства, все из которых до сих пор оказались ошибочными. По состоянию на 2018 год не было никаких правдоподобных заявлений, подтверждающих эту гипотезу. Даже случай с двумя переменными сопротивлялся всем попыткам. В настоящее время нет известных убедительных причин считать эту гипотезу верной, и, согласно ван ден Эссенван ден Эссен, Арно (1997), «Полиномиальные автоморфизмы и гипотеза Якобиана» (PDF), Algèbre Non коммутативные, количественные группы и инварианты (Реймс, 1995), Семин. Конгресс, том. 2, Париж: Сок. Math. France, стр. 55–81, MR 1601194 Существует предположение, что эта гипотеза на самом деле неверна для большого числа переменных. На самом деле нет убедительных доказательств, подтверждающих это предположение. Гипотеза о якобиане занимает 16-е место в списке математических проблем следующего столетия, составленном Стивеном Смейлом.

== Определитель Якобиана ==
Пусть ''N'' > 1 - фиксированное целое число и рассмотрим многочлены ''f''1, ..., ''f''''N'' в переменных ''X''1, ..., ''X''''N'' с коэффициентами в поле ''k''. Затем мы определяем векторную функцию: ''F'': ''kN'' → ''k''''N'' по:

''F''(''X''1, ..., ''X''''N'') = (''f''< sub>1(''X''1, ...,''X''''N''),..., ' 'f''''N''(''X''1,...,''X''''N'')).

Каждое отображение ''F'', созданное таким образом: ''kN'' → ''k''''N'', называется полиномиальным отображением.

Функциональный определитель | Определитель Якоби для ''F'', обозначаемый как ''JF'', определяется как определитель матрицы Якоби ''N'' × ''N'', который состоит из частных производных от ''fi'' до ''Xj'', состоит из:

\vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial f_N}{\partial X_1} & \cdots & \frac{\partial f_N}{\partial X_N} \end{matrix} \right |,

тогда ''JF'' сам по себе является полиномиальной функцией переменных ''N'' ''X''1, ..., ''XН ''

== Формулировка предположения ==

Из правила цепочки многих переменных следует, что если ''F'' является полиномиальной обратной функцией ''G'': ''kN'' → ''kN '' имеет, то ''JF'' имеет полиномиальную обратную величину, поэтому является ненулевой константой. Гипотеза о якобиане представляет собой следующее частичное обратное: Пусть ''k'' имеет характеристику (алгебру)|характеристику 0. Если ''JF'' является ненулевой константой, то ''F'' имеет обратную функцию ''G'': ''kN'' → ' ' kN'', регулярное отображение (алгебраическая геометрия)| является регулярным, то есть его компоненты являются полиномами. Согласно ван ден Эссену, Впервые гипотеза о проблеме была выдвинута Келлером в 1939 году для ограниченного случая двух переменных и целых коэффициентов.

Очевидная аналогия с гипотезой о якобиане не работает, когда «k» имеет характеристику «p» > 0 даже для одной переменной. Если характеристика тела не равна нулю, она должна быть простым числом, т.е. не меньше 2. Многочлен x-x^p имеет производную 1 - p x^{p-1}< /math > равен 1 (поскольку px равен 0), но не имеет обратной функции. Однако Коссиви Аджамагбо предложил якобианскую гипотезу о характеристиках.

Существование полиномиальной обратной функции очевидно, если ''F'' представляет собой просто набор функций, линейных по переменным, поскольку тогда обратная функция также будет набором линейных функций. Простой нелинейный пример представлен
: u=x^2+y+x
: v=x^2+y,

так что определитель Якобиана можно записать как

В этом случае обратная функция существует в виде многочленов
: x=u-v
: y=v-(u-v)^2.

Но если мы немного изменим «F» на
: u=2x^2+y
: v=x^2+y

тогда определитель
2x & 1 \end{matrix} \right |
= (4x)(1) - 2x(1) = 2x,

который не является постоянным, и поэтому гипотеза Якобиана неприменима. У функции еще есть обратная функция:
: x=\sqrt{u-v}
: y=2v-u,

но выражение для ''x'' не является полиномом.

Условие ''JF'' ≠ 0 связано с теоремой об обратной функции в исчислении многих переменных. Действительно, для гладких функций (и, следовательно, полиномов в частности) существует гладкая локальная обратная функция к ''F'' в каждой точке, где ''JF'' не равно нулю. Например, карта x → ''x'' + ''x''3 имеет гладкую глобальную обратную функцию, но обратная функция не является полиномом.

== Результаты ==
Стюарт Суй-Шенг Ван доказал гипотезу о якобиане для полиномов степени 2. Ван, Стюарт Суй-Шенг (август 1980 г.), «Якобиан критерий отделимости», Journal of Algebra, 65 (2): 453–494, doi:10.1016/0021-8693(80)90233-1 Хайман Басс, Эдвин Коннелл и Дэвид Райт показали, что общий случай вытекает из частного случая, в котором многочлены имеют степень 3, или, точнее, кубическую степень. однородный тип, что означает, что они имеют вид ''F'' = (''X''1 + ''H''1, ... , ' 'X''''n'' + ''H''''n''), где каждый ''H''' 'i' ' — либо ноль, либо однородный полином степени 3.Басс, Хайман; Коннелл, Эдвин Х.; Райт, Дэвид (1982), «Гипотеза Якобиана: понижение степени и формальное расширение обратной», Бюллетень Американского математического общества, новая серия, 7 (2): 287–330, doi:10.1090/S0273-0979- 1982-15032-7, ISSN 1088-9485, MR 0663785 Людвик Дружковский показал, что далее можно предположить, что карта имеет кубический линейный тип, что означает, что ненулевой ''H''< sub> ''i'' являются кубами однородных линейных многочленов.Дружковский, Людвик М. (1983), «Эффективный подход к гипотезе о якобиане Келлера», Mathematical Annals, 264 (3): 303–313, doi:10.1007/bf01459126, MR 0714105 Похоже, что сокращение Дружковского — наиболее многообещающий путь вперед. Эти сокращения вводят дополнительные переменные и поэтому недоступны для фиксированного ''N''.

Эдвин Коннелл и Лу ван ден Дрис доказали, что если гипотеза о якобиане неверна, существует контрпример с целыми коэффициентами и определителем якобиана 1.Коннелл, Эдвин; ван ден Дрис, Лу (1983), «Инъективные полиномиальные карты и гипотеза Якобиана», Журнал чистой и прикладной алгебры, 28 (3): 235–239, doi:10.1016/0022-4049(83)90094-4, MR 0701351 Следовательно, гипотеза о якобиане либо верна для всех полей характеристики 0, либо ни для одного. Для фиксированной размерности ''N'' это верно, если оно применимо хотя бы к одному алгебраически замкнутому полю с характеристикой 0.

Пусть ''k''[''X''] — кольцо полиномов
Мишель де Бондт и Арно ван ден Эссенде Бондт, Мишель; ван ден Эссен, Арно (2005), «Сведение гипотезы Якобиана к симметричному случаю», Proceedings of the American Mathematical Society, 133 (8): 2201–2205, doi:10.1090/S0002-9939-05-07570- 2, hdl:2066/33302, MR 2138860де Бондт, Мишель; ван ден Эссен, Арно (2005), «Гипотеза Якобиана для симметричных отображений Дружковского», Annales Polonici Mathematici, 86 (1): 43–46, doi:10.4064/ap86-1-5, MR 2183036 и Людвик Дружковский Дружковский, Людвик М. (2005), «Гипотеза Якобиана: симметричная редукция и решение в симметричном кубическом линейном случае», Annales Polonici Mathematici, 87: 83–92, doi: 10.4064/ap87-0-7, MR 2208537 показано независимо от друг друга, что достаточно доказать гипотезу о якобиане для комплексных отображений кубического однородного типа с симметричной матрицей якобиана, а также показали, что гипотеза справедлива для отображений кубического линейного типа с симметричной матрицей якобиана над любым телом характеристики 0.

Сильная гипотеза о вещественном якобиане утверждала, что вещественное полиномиальное отображение с определителем Якобиана, который не обращается в нуль всюду, имеет гладкую глобальную обратную функцию. Это эквивалентно вопросу, является ли такое отображение топологически правильным, и в этом случае оно является отображением суперпозиции односвязного многообразия и, следовательно, обратимым. Сергей Пинчук построил двумерные контрпримеры общей степени 35 и выше.Пинчук, Сергей (1994), «Контрпример к сильной гипотезе о реальном якобиане», Mathematical Journal, 217 (1): 1–4, doi:10.1007 /bf02571929, MR 1292168

Хорошо известно, что из гипотезы Диксмье следует гипотеза якобиана. Обратное было сделано Йошифуми ЦучимотоЦучимото, Йошифуми (2005), "Эндоморфизмы алгебры Вейля и p {\displaystyle p }-кривизны», Osaka Journal of Mathematics, 42 (2): 435–452, ISSN 0030-6126 и независимо Алексея Белова-Канеля и Максима Концевича Белов-Канель, Алексей; Концевич, Максим (2007), «Гипотеза якобиана стабильно эквивалентна гипотезе Диксмье», Московский математический журнал, 7 (2): 209–218, arXiv:math/0512171, Bibcode:2005math.....12171B, doi :10.17323/1609-4514-2007-7-2-209-218, MR 2337879, S2CID 15150838 показали, что гипотеза Якобиана для переменных «2N» превосходит гипотезу Диксмье в предполагаемых размерах «N». . Самостоятельное и чисто алгебраическое доказательство этого последнего импликации также дано Коссиви Аджамагбо и Арно ван ден ЭссенАджамагбо, Паскалем Коссиви; ван ден Эссен, Арно (2007), «Доказательство эквивалентности гипотез Диксмье, Якобиана и Пуассона» (PDF), Acta Mathematica Vietnamica, 32: 205–214, MR 2368008 также приведено в той же работе доказал, что эти две гипотезы эквивалентны гипотезе Пуассона.



Категория:Гипотеза (Математика)
Категория:Алгебраическая геометрия