Многолинейная алгебра ⇐ Васина Википедия

[wiki_de]

'''Полилинейная алгебра''' — это раздел математики. Полилинейная алгебра — это концепция, которая представляет собой обобщение линейной алгебры на несколько переменных или более высокие измерения. Полилинейная алгебра играет важную роль в различных математических дисциплинах, таких как линейная алгебра, дифференциальная геометрия, теоретическая физика и техника.

== Основные понятия ==

=== Тензорное произведение ===
Центральным понятием полилинейной алгебры является тензорное произведение. Учитывая два векторных пространства \( V \) и \( W \) над общим базисным телом \( K \), то тензорное произведение \( V \otimes W \) является векторным пространством, состоящим из всех формальных линейных комбинаций тензоров вида \(v\otimes w\), где \(v\in V\) и \(w\in W\).

=== Тензор ===
Тензор — это элемент тензорного произведения одного или нескольких векторных пространств. Тензоры можно рассматривать как обобщение скаляров, векторов и матриц, и они появляются во многих областях математики и физики.

=== Полилинейные отображения ===
Полилинейная карта — это функция, которая принимает в качестве аргументов несколько векторов и является линейной по каждому аргументу. Это значит, что если оставить один из векторов фиксированным и изменить остальные, значение фигуры изменится линейно.

=== Приложения ===

==== Физика ====
В теоретической физике тензоры используются для описания физических величин, таких как тензоры напряжений, электромагнитные поля и тензоры кривизны в общей теории относительности.

==== Машинное обучение и анализ данных ====
Тензоры также используются в анализе данных и машинном обучении, особенно в моделях глубокого обучения, таких как нейронные сети, для представления сложных структур данных.

==== Инженерное дело ====
В технических науках тензоры используются для описания механических свойств материалов, механики жидкости и других физических явлений.

=== История ===
Полилинейная алгебра берет свое начало в линейной алгебре и получила дальнейшее развитие на протяжении 20 века. Термины и понятия полилинейной алгебры были разработаны и уточнены такими математиками, как Герман Грассманн, Эли Картан и другими.

Категория:Алгебра