Ужасный номер ⇐ Васина Википедия

[wiki_de]

В теории чисел «одиозное число» — это неотрицательное целое число, имеющее нечетное количество единиц в двоичной системе.Нил Слоан: [https://oeis.org/A000069 Последовательность A000069: Odious числа: числа с нечетным числом единиц в их двоичном представлении], в Электронной энциклопедии целочисленных последовательностей. Неотрицательные целые числа, которые не являются неприятными, ' называются 'злыми числами'.

Математик Джон Хортон Конвей | Джон Конвей написал в своей книге 1982 года «Пути победы в математических играх» 20Mathematical%20Plays%20V1.pdf Пути победы в математических играх, том 1, стр. 110] (PDF) Названия установлены на основе игры слов. У "одиозных чисел" - "нечетное", т.е. нечетное количество единиц, у "злых чисел" - "четное", т.е. четное количество единиц.

== Примеры ==
* Бинарное представление (т.е. представление в двойственной системе) k=22:
:: 22=16+0+4+2+0=1 \cdot 2^4+0 \cdot 2^3+1 \cdot 2^2+1 \cdot 2^1+0 \cdot 2^ 0 = (10110)_2
: Это двоичное представление состоит из 3 единиц. 3 — нечетное число, поэтому k=22 — отвратительное число.

* Двоичное представление k=27:
:: 27=16+8+0+2+1=1 \cdot 2^4+1 \cdot 2^3+0 \cdot 2^2+1 \cdot 2^1+1 \cdot 2^ 0 = (11011)_2
: Это двоичное представление состоит из 4 единиц. 4 — четное число, поэтому k=27 — не ужасное, а злое число.

* Первые ужасные цифры меньше 100:
:: 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14, 16, 19, 21, 22, 25, 26, 28, 31, 32, 35, 37, 38, 41, 42, 44, 47, 49, 50, 52, 55, 56, 59, 61, 62, 64, 67, 69, 70, 73, 74, 76, 79, 81, 82, 84, 87, 88, 91, 93, 94, 97, 98, … (
== Свойства ==
* Пусть a(n) — n-е ужасное число (с a(0)=1).
: Тогда применяется следующее:
:: a(a(n))=2 \cdot a(n) для всех n
::: ''Пример:''
:::: Пусть n=10. Из приведенной выше последовательности чисел вы можете видеть, что a(n)=a(10)=21. Более того, a(a(n))=a(a(10))=a(21)=42. Фактически, a(a(n)) = 42 = 2 \cdot 21 = 2 \cdot a(n).

* Пусть n — положительное целое число. Тогда применяется следующее:
:* Существует ужасное число, кратное n, и оно не превышает n \cdot (n+4).
:* Числа, для которых этот верхний предел узок, — это в точности числа Мерсенна с четными показателями, т. е. числа вида 2^{2k}-1=4^k-1 (т. е. 3, 15, 63, 255, … ( ::: ''Пример:''
:::: Пусть n=10. Затем из приведенной выше последовательности чисел вы можете видеть, что среди чисел, кратных 10, число 70 является первым отвратительным. Фактически, 70 применимо: p=3=2+1=1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 =(11)_2. Оно состоит из двух единиц, поэтому число p=3 является злым числом и поэтому исключено из этого утверждения. \Box
:: ''Пример:''
::: Для двоичного представления четвертого простого числа Мерсенна n=127=2^7-1 применяется следующее:
:::: n=127=64+32+16+8+4+2+1=1 \cdot 2^6 + 1 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2 ^3 + 1 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 =(1111111)_2.
::: В нем 7, то есть нечетное количество единиц (потому что в двоичном формате только единицы), поэтому это ужасное число.

* Пусть d>2. Тогда применяются следующие два утверждения:[https://www.numbersaplenty.com/set/odious_number/ odious Numbers] на ''Numbers Aplenty''
:* Злых и отвратительных чисел равное количество, каждое из которых имеет d цифр в двойной системе.
:* Множество злых чисел с d цифрами в дуальной системе и множество отвратительных чисел с d цифрами в дуальной системе имеют одну и ту же сумму, а именно
::: 3 \cdot 2^{2d-4}-2^{d-3}
:::: ''Пример:''
::::: Пусть d=5.
::::: Тогда существует ровно 8 злых чисел, двоичное представление которых состоит только из 5 цифр, а именно:
:::::: '''17'''=(10001)2, '''18'''=(10010)2, '''20 '''=(10100)2, '''23'''=(10111)2, '''24'''=(11000) 2, '''27'''=(11011)2, '''29'''=(11101)2 и '''30 '''=(11110)2
::::: Кроме того, существует ровно 8 отвратительных чисел, двоичное представление которых состоит всего из 5 цифр, а именно:
:::::: '''16'''=(10000)2, '''19'''=(10011)2, '''21 '''=(10101)2, '''22'''=(10110)2, '''25'''=(11001) 2, '''26'''=(11010)2, '''28'''=(11100)2 и '''31 '''=(11111)2
::::: Очевидно, существует равное количество злых и мерзких чисел, двоичное представление которых имеет только 5 цифр, а именно 8, как того требует первое утверждение приведенного выше предложения.
::::: Кроме того, 3 \cdot 2^{2d-4}-2^{d-3}=3 \cdot 2^{2 \cdot 5-4}-2^{5-3} =3 \cdot 2^6-2^2=3 \cdot {64}-4=192-4=188.
::::: Фактически, это сумма 8 злых чисел, двоичное представление которых состоит всего из 5 цифр:
:::::: 17+18+20+23+24+27+29+30=188
::::: К сумме 8 отвратительных чисел, двоичное представление которых имеет только 5 цифр, применимо следующее:
:::::: 16+19+21+22+25+26+28+31=188
::::: Сумма равна указанной в предложении выше.

* Пусть '''Сложение Нима''', \oplus, определяется следующим образом:
:: Для каждой пары целых неотрицательных чисел a,b \in \mathbb N применяется следующее: (a)_{10} \oplus (b)_{10} = (a)_2+ (b)_2 с 0+0=0, 0+1=1+0, 1+1=0 (в последнем случае, однако, без перевода на следующую более высокую должность).
: Тогда применяется следующее:
:: Зловещие и отвратительные числа ведут себя при «сложении Нима», \oplus, как четные и нечетные числа при «нормальном» сложении. Итак, применимо следующее:
:::* зло \oplus зло = зло
:::* отвратительно \oplus отвратительно = зло
:::* зло \oplus отвратительно = отвратительно \oplus зло = отвратительно
::::: ''Пример 1:''
:::::: Выше было показано, что 27=(11011)_2 — злое число, и более того, 51=(110011)_2 — тоже злое число:
::::::: 27_{10} \oplus 51_{10} = (11011)_2 + (110011)_2 = (101000)_2
:::::: В результате четное число единиц, поэтому это злое число.
::::: ''Пример 2:''
:::::: Выше было показано, что 22=(10110)_2 — ужасное число, и более того, 52=(110100)_2 — тоже ужасное число:
::::::: 22_{10} \oplus 52_{10} = (10110)_2 + (110100)_2 = (100010)_2
:::::: В результате четное число единиц, поэтому это злое число.
::::: ''Пример 3:''
:::::: Выше было показано, что 51 — злое число, а 52 — ужасное число:
::::::: 51_{10} \oplus 52_{10} = (110011)_2 + (110100)_2 = (000111)_2
:::::: В результате нечетное количество единиц, поэтому это ужасное число.

* Известно несколько чисел, которые равны сумме своих ужасных делителей. Это:
:: 28, 496, 8128, 415800, 2096128, 33550336, 8589869056 ( : Все эти числа, за исключением 415800 и 2096128, являются совершенными. Вышеупомянутые числа можно было бы назвать «одиозно-совершенными числами».Нил Слоан: [https://oeis.org/A212302 A212302: Числа k, сумма собственных одиозных делителей которых (A000069) ) равно k.], в Электронной энциклопедии целочисленных последовательностей
::: ''Пример:''
:::: Двоичное представление ужасного числа n=28:
::::: n=28=16+8+4+0+0=1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 =(11100)_2
:::: Число n=28 имеет следующие делители: d_1=1=(1)_2, d_2=2=(10)_2, d_3=4=(100)_2 , d_4=7=(111)_2, d_5=14=(1110)_2. Все делители имеют нечетное число единиц в двоичном представлении, поэтому все делители представляют собой ужасные числа. Таким образом, ужасное число n=28 имеет ужасные делители, сумма которых равна 28.

* Если вы опустите последнюю цифру (т.е. последний бит) двоичного представления отвратительных чисел, вы получите набор натуральных чисел, т.е. 0, 1, 2, 3, ...Нил Слоан: [https://oeis.org/A001969 Последовательность A001969: Злые числа: неотрицательные целые числа с четным числом единиц в их двоичном представлении], в Электронной энциклопедии целочисленных последовательностей

* Множество неотрицательных целых чисел однозначно можно разделить на множество злых чисел и множество подлых чисел. Они имеют равные мультимножества парных сумм.

* В информатике неприятные числа имеют нечетный бит четности|четность.

== Литература ==
*

* * [https://www.numbersaplenty.com/set/odious_number/ odious Numbers] в «Numbers Aplenty»



Категория:Набор целых чисел
Категория:Теория чисел