Мобильная версияГроссоне ⇐ Васина Википедия
-
Автор темыwiki_en
- Всего сообщений: 123210
- Зарегистрирован: 16.01.2024
Гроссоне
«Гроссоне» (символ «①»») — это цифра, предназначенная для выполнения числовых вычислений с бесконечностями и бесконечно малыми числами.
'''①''' сравнивался с мнимой единицей|''i'',https://research-portal.uea.ac.uk/files ... script.pdf, которая служит символом квадратного корня из отрицательного: хотя ни одно действительное число не является квадратным корнем из отрицательного числа, для некоторых вычислений полезно ввести мнимое число, с помощью которого можно выполнять арифметические действия. на число с таким свойством.
Хотя '''①''' похож на строго бесконечные числа, ему присваивается значение, отличное от числа алефа Кантора.
Гроссон изучался в области математической логики, численного анализа, оптимизации, клеточных автоматов, вероятности и философии математики, хотя некоторые математики критикуют его за недостаточное определение или тривиальность.
== Фон ==
Первоначально разработанный математиком Ярославом Сергеевым, Сергеев представил подход гроссона в книге «Арифметика бесконечности» и в последующих статьях по численным вычислениям с бесконечными и бесконечно малыми величинами. Центральный принцип подхода заключается в том, что «часть меньше целого», применимая не только к конечным множествам и конечным величинам, но также к бесконечным множествам и процессам. Это контрастирует со стандартной теоремой Кантора|канторианской теорией множеств, в которой набор натуральных чисел и набор четных натуральных чисел имеют одинаковую мощность|размер, а именно
== Определение и обозначения ==
Гроссоне обозначается цифрой в кружке '''①'''. Сергеев представляет это через «Аксиому бесконечной единицы», обычно состоящую из трех частей:
* '''Бесконечность''': каждое конечное натуральное число. * '''Идентичность''': ① удовлетворяет таким идентификаторам, как * '''Делимость''': для каждого конечного положительного целого числа.
В этой системе ① рассматривается как большее, чем любое конечное натуральное число, и часто представляется как последний элемент последовательности натуральных чисел:
:
Это отличается от обычного лечения
== Интерпретации ==
=== Бесконечная интерпретация ===
В оригинальном изложении Сергеева гроссон вводится как бесконечная единица измерения, а именно количество элементов множества.
В такой интерпретации натуральные числа можно записать в виде
:
где '''①''' рассматривается как самый большой элемент
=== Общая конечная интерпретация ===
Луи Х. Кауфман предложил другую интерпретацию обозначения гроссона в терминах «общего конечного значения». В этой интерпретации ① рассматривается не как завершенное бесконечное натуральное число, а как символическая конечная точка произвольного конечного начального отрезка. Кауфман пишет, что
:
— это не бесконечное множество, а символическая структура, представляющая общее конечное множество.
В трактовке Кауфмана ① само по себе не является конкретным натуральным числом, но его можно рассматривать как общее натуральное число в конечных формулах. Для любой конечной реализации ① символ ① представляет высший элемент этой реализации; в этом смысле его можно рассматривать как большее, чем любое конкретное целое число, названное заранее. Кауфман описывает это как смягчение оригинального подхода Сергеева, поскольку обобщенно-конечное чтение не требует ① наличия всех свойств делимости, постулируемых в теории Сергеева, таких как деление на любое конечное положительное целое число.
Кауфман формулирует принцип переноса для этой интерпретации: утверждение
Таким образом, общая конечная интерпретация отличается как от обычной канторовской теории множеств, так и от исходной интерпретации Сергеева с бесконечными единицами. Он рассматривает нотацию гроссона как формальный инструмент для рассуждений о произвольных конечных структурах и их ограничивающем поведении, а не как стремление к завершению бесконечных множеств.
== Связь с другими теориями бесконечности ==
Гроссоне отличается от стандартного кардинала.
Отношения между гроссоном и нестандартным анализом были спорными. Гутман и Кутателадзе утверждали, что неформальная теория гроссона Сергеева допускает формализацию внутри классического нестандартного анализа, моделируя гроссон с помощью
Габриэле Лолли дала аксиоматическую трактовку гроссона в 2015 году, используя язык второго порядка и предикативную логику второго порядка. Формализация Лолли не поддавалась конечной аксиоматизации и оказалась консервативным расширением арифметики Пеано. Франко Монтанья, Джулия Сими и Андреа Сорби изучали родственные формальные системы, вдохновленные гроссоном, включая ограниченные вселенные конечных и бесконечных натуральных чисел.
== Приложения ==
Методы, основанные на Гроссоне, были предложены для различных областей прикладной математики и вычислений. В обзоре Сергеева 2017 года обсуждались предлагаемые приложения к бесконечным множествам, расходящимся рядам, вероятности, фракталам, численному дифференцированию, обыкновенным дифференциальным уравнениям и оптимизации.
В области математического программирования и исследования операций Соня Де Космис и Ренато Де Леоне предложили использовать гроссон в антициклических процедурах для симплекс-метода и в точных дифференцируемых штрафных функциях для нелинейного программирования. Луи Д'Алотто применил аксиому бесконечной единицы и гроссон для классификации одномерных клеточных автоматов.
В области оптимизации Марко Кокоччиони, Массимо Паппалардо и Сергеев предложили основанный на гроссоне метод для лексикографического многокритериального линейного программирования. С. Калуде и Моника Думитреску использовали формализм, вдохновленный гроссоуном, для изучения бесконечно малых вероятностей на бесконечных наборах положительных целых чисел.
=== Потенциальная бесконечность и пределы ===
Гроссоне обсуждался в связи с традиционным различием между потенциальной бесконечностью и фактической бесконечностью, особенно в связи с использованием пределов. Сергеев противопоставляет методологию, основанную на ①, обычной трактовке бесконечности, основанной на пределе: в его теории концепция предела Даламбера-Коши заменила фактические бесконечные и бесконечно малые величины потенциальными, в то время как нотация гроссона предназначена для того, чтобы позволить вычислять выражения в заданных бесконечных или бесконечно малых точках.
Родико-конечная интерпретация Кауфмана дает иную связь с незавершенной бесконечностью. Кауфман начинает с позиции, что не существует завершенных бесконечных множеств, и интерпретирует ① как символическую конечную точку произвольного конечного начального сегмента, а не как канторовское завершенное бесконечное множество. В таком прочтении формулу, содержащую ①, можно понимать как конечную формулу с неуказанной большой верхней границей. Кауфман утверждает, что выражения, включающие ①, можно читать как общие конечные формулы и, в подходящих случаях, как указывающие на поведение соответствующего предела или бесконечной суммы.
Связанное использование появляется в работе над бесконечными сериями. Жиглявский предложил аксиомы использования гроссона при суммировании, включая принцип «перехода к пределу», согласно которому, если последовательность стремится к нулю как
Эти интерпретации не следует смешивать. В оригинальной методологии Сергеева ① рассматривается как реальная бесконечная единица измерения. В типично-конечной интерпретации Кауфмана, напротив, ① является символическим приемом для рассуждений о произвольных конечных структурах и их предельном поведении без предположения о завершенных бесконечных множествах.
== Критика ==
Понятие «гроссона» было предметом как формального изучения, так и критики. Лолли охарактеризовал подход Сергеева как включающий элементы реализма, формализма и финитизма, а также выявляя моменты, требующие разъяснения или дальнейшего развития. Пол Эрнест охарактеризовал гроссон как современный спор о бесконечности в математической практике, отметив как масштаб публикаций Сергеева, так и силу критики, направленной против теории.
Гутман и Кутателадзе утверждали, что гроссон можно формализовать в рамках нестандартного анализа, и раскритиковали представление Сергеева как ненужное или неточное. name="Gutman2017" /> Сергеев ответил на такие утверждения в статье 2019 года, защищая независимость методологии гроссона от нестандартного анализа.
В 2023 году Эрнест пришел к выводу, что ценность гроссоун-подхода остается нерешенной и что с его помощью еще не решена ни одна решающая проблема, которую нельзя было бы решить существующими методами.
== См. также ==
* Число Алеф
* Кардинальное число
* Парадокс Гильберта о Гранд Отеле
* Гиперреальное число
* Бесконечно малая
* Нестандартный анализ
* Система счисления
* Порядковый номер
* Мнимые числа
* Сюрреалистический номер
* Трансфинитное число
Подробнее: https://en.wikipedia.org/wiki/Grossone
«Гроссоне» (символ «①»») — это цифра, предназначенная для выполнения числовых вычислений с бесконечностями и бесконечно малыми числами.
'''①''' сравнивался с мнимой единицей|''i'',https://research-portal.uea.ac.uk/files ... script.pdf, которая служит символом квадратного корня из отрицательного: хотя ни одно действительное число не является квадратным корнем из отрицательного числа, для некоторых вычислений полезно ввести мнимое число, с помощью которого можно выполнять арифметические действия. на число с таким свойством.
Хотя '''①''' похож на строго бесконечные числа, ему присваивается значение, отличное от числа алефа Кантора.
Гроссон изучался в области математической логики, численного анализа, оптимизации, клеточных автоматов, вероятности и философии математики, хотя некоторые математики критикуют его за недостаточное определение или тривиальность.
== Фон ==
Первоначально разработанный математиком Ярославом Сергеевым, Сергеев представил подход гроссона в книге «Арифметика бесконечности» и в последующих статьях по численным вычислениям с бесконечными и бесконечно малыми величинами. Центральный принцип подхода заключается в том, что «часть меньше целого», применимая не только к конечным множествам и конечным величинам, но также к бесконечным множествам и процессам. Это контрастирует со стандартной теоремой Кантора|канторианской теорией множеств, в которой набор натуральных чисел и набор четных натуральных чисел имеют одинаковую мощность|размер, а именно
== Определение и обозначения ==
Гроссоне обозначается цифрой в кружке '''①'''. Сергеев представляет это через «Аксиому бесконечной единицы», обычно состоящую из трех частей:
* '''Бесконечность''': каждое конечное натуральное число. * '''Идентичность''': ① удовлетворяет таким идентификаторам, как * '''Делимость''': для каждого конечного положительного целого числа.
В этой системе ① рассматривается как большее, чем любое конечное натуральное число, и часто представляется как последний элемент последовательности натуральных чисел:
:
Это отличается от обычного лечения
== Интерпретации ==
=== Бесконечная интерпретация ===
В оригинальном изложении Сергеева гроссон вводится как бесконечная единица измерения, а именно количество элементов множества.
В такой интерпретации натуральные числа можно записать в виде
:
где '''①''' рассматривается как самый большой элемент
=== Общая конечная интерпретация ===
Луи Х. Кауфман предложил другую интерпретацию обозначения гроссона в терминах «общего конечного значения». В этой интерпретации ① рассматривается не как завершенное бесконечное натуральное число, а как символическая конечная точка произвольного конечного начального отрезка. Кауфман пишет, что
:
— это не бесконечное множество, а символическая структура, представляющая общее конечное множество.
В трактовке Кауфмана ① само по себе не является конкретным натуральным числом, но его можно рассматривать как общее натуральное число в конечных формулах. Для любой конечной реализации ① символ ① представляет высший элемент этой реализации; в этом смысле его можно рассматривать как большее, чем любое конкретное целое число, названное заранее. Кауфман описывает это как смягчение оригинального подхода Сергеева, поскольку обобщенно-конечное чтение не требует ① наличия всех свойств делимости, постулируемых в теории Сергеева, таких как деление на любое конечное положительное целое число.
Кауфман формулирует принцип переноса для этой интерпретации: утверждение
Таким образом, общая конечная интерпретация отличается как от обычной канторовской теории множеств, так и от исходной интерпретации Сергеева с бесконечными единицами. Он рассматривает нотацию гроссона как формальный инструмент для рассуждений о произвольных конечных структурах и их ограничивающем поведении, а не как стремление к завершению бесконечных множеств.
== Связь с другими теориями бесконечности ==
Гроссоне отличается от стандартного кардинала.
Отношения между гроссоном и нестандартным анализом были спорными. Гутман и Кутателадзе утверждали, что неформальная теория гроссона Сергеева допускает формализацию внутри классического нестандартного анализа, моделируя гроссон с помощью
Габриэле Лолли дала аксиоматическую трактовку гроссона в 2015 году, используя язык второго порядка и предикативную логику второго порядка. Формализация Лолли не поддавалась конечной аксиоматизации и оказалась консервативным расширением арифметики Пеано. Франко Монтанья, Джулия Сими и Андреа Сорби изучали родственные формальные системы, вдохновленные гроссоном, включая ограниченные вселенные конечных и бесконечных натуральных чисел.
== Приложения ==
Методы, основанные на Гроссоне, были предложены для различных областей прикладной математики и вычислений. В обзоре Сергеева 2017 года обсуждались предлагаемые приложения к бесконечным множествам, расходящимся рядам, вероятности, фракталам, численному дифференцированию, обыкновенным дифференциальным уравнениям и оптимизации.
В области математического программирования и исследования операций Соня Де Космис и Ренато Де Леоне предложили использовать гроссон в антициклических процедурах для симплекс-метода и в точных дифференцируемых штрафных функциях для нелинейного программирования. Луи Д'Алотто применил аксиому бесконечной единицы и гроссон для классификации одномерных клеточных автоматов.
В области оптимизации Марко Кокоччиони, Массимо Паппалардо и Сергеев предложили основанный на гроссоне метод для лексикографического многокритериального линейного программирования. С. Калуде и Моника Думитреску использовали формализм, вдохновленный гроссоуном, для изучения бесконечно малых вероятностей на бесконечных наборах положительных целых чисел.
=== Потенциальная бесконечность и пределы ===
Гроссоне обсуждался в связи с традиционным различием между потенциальной бесконечностью и фактической бесконечностью, особенно в связи с использованием пределов. Сергеев противопоставляет методологию, основанную на ①, обычной трактовке бесконечности, основанной на пределе: в его теории концепция предела Даламбера-Коши заменила фактические бесконечные и бесконечно малые величины потенциальными, в то время как нотация гроссона предназначена для того, чтобы позволить вычислять выражения в заданных бесконечных или бесконечно малых точках.
Родико-конечная интерпретация Кауфмана дает иную связь с незавершенной бесконечностью. Кауфман начинает с позиции, что не существует завершенных бесконечных множеств, и интерпретирует ① как символическую конечную точку произвольного конечного начального сегмента, а не как канторовское завершенное бесконечное множество. В таком прочтении формулу, содержащую ①, можно понимать как конечную формулу с неуказанной большой верхней границей. Кауфман утверждает, что выражения, включающие ①, можно читать как общие конечные формулы и, в подходящих случаях, как указывающие на поведение соответствующего предела или бесконечной суммы.
Связанное использование появляется в работе над бесконечными сериями. Жиглявский предложил аксиомы использования гроссона при суммировании, включая принцип «перехода к пределу», согласно которому, если последовательность стремится к нулю как
Эти интерпретации не следует смешивать. В оригинальной методологии Сергеева ① рассматривается как реальная бесконечная единица измерения. В типично-конечной интерпретации Кауфмана, напротив, ① является символическим приемом для рассуждений о произвольных конечных структурах и их предельном поведении без предположения о завершенных бесконечных множествах.
== Критика ==
Понятие «гроссона» было предметом как формального изучения, так и критики. Лолли охарактеризовал подход Сергеева как включающий элементы реализма, формализма и финитизма, а также выявляя моменты, требующие разъяснения или дальнейшего развития. Пол Эрнест охарактеризовал гроссон как современный спор о бесконечности в математической практике, отметив как масштаб публикаций Сергеева, так и силу критики, направленной против теории.
Гутман и Кутателадзе утверждали, что гроссон можно формализовать в рамках нестандартного анализа, и раскритиковали представление Сергеева как ненужное или неточное. name="Gutman2017" /> Сергеев ответил на такие утверждения в статье 2019 года, защищая независимость методологии гроссона от нестандартного анализа.
В 2023 году Эрнест пришел к выводу, что ценность гроссоун-подхода остается нерешенной и что с его помощью еще не решена ни одна решающая проблема, которую нельзя было бы решить существующими методами.
== См. также ==
* Число Алеф
* Кардинальное число
* Парадокс Гильберта о Гранд Отеле
* Гиперреальное число
* Бесконечно малая
* Нестандартный анализ
* Система счисления
* Порядковый номер
* Мнимые числа
* Сюрреалистический номер
* Трансфинитное число
Подробнее: https://en.wikipedia.org/wiki/Grossone