Теорема Квапеня-Мори ⇐ Васина Википедия

[wiki_de]

Теорема Квапеня-Мори из раздела математики|математического раздела функционального анализа связана с факторизацией линейных операторов|Операторы банахового пространства над гильбертовым пространством; он назван в честь Станислава Квапеня и Бернара Морея.

== Формулировка предложения ==
Используя скалярное произведение, можно показать, что гильбертово пространство как банахово пространство имеет тип и котип банахового пространства. Тип и котип 2. В 1972 году Станислав Квапень доказал - в другой формулировке, без использования еще не устоявшихся терминов тип и котип - обратное этому утверждению, так что имеет место следующая эквивалентность:

* Банахово пространство является банаховым пространством#Линейные операторы|изоморфным гильбертовому пространству тогда и только тогда, когда оно имеет тип и котип 2.

Затем Бернар Мори обнаружил, что идеи доказательства можно даже использовать для получения следующей факторизационной теоремы, носящей имена обоих математиков.

* '''Теорема Квапиена-Мори''': Пусть T:X\rightarrow Y — непрерывная функция|непрерывный линейный оператор между банаховыми пространствами X и Y. Если X имеет тип 2, а Y имеет котип 2, то T факторизуется через гильбертово пространство.

Приведенное выше утверждение факторизации означает, что существует гильбертово пространство H и непрерывные линейные операторы R:H\rightarrow Y и S:X\rightarrow H такие, что T=R\circ S. Это утверждение можно расширить до следующего предложения-продолжения:

* Пусть X и Y — банальные пространства, Z — замкнутое подпространство в X и T:Z\rightarrow Y — непрерывный линейный оператор. Если X имеет тип 2, а Y имеет котип 2, то существует гильбертово пространство H и непрерывные линейные операторы R:H\rightarrow Y и S:X\rightarrow H такие, что T=R\circ S|_Z

|_Z обозначает ограничение оператора до Z. В частности, в ситуации предложения вообще существует продолжение, что представляет интерес даже без дополнительного факторингового высказывания.

== Примечания ==
* Первая характеризация банаховых пространств, изоморфных гильбертовому пространству, легко следует из утверждения о факторизации. Поскольку гильбертово пространство имеет тип и котип 2, необходимо показать изоморфизм банахового пространства X с типом и котипом 2 гильбертову пространству. Но из факторизации
:: X \;\xrightarrow[]{\mathrm{id}_X} \;X \quad = \quad X\; \xrightarrow[]{S}\; Ч \;\xrightarrow[]{R}\; Х
: следует, что X \cong H/\operatorname{ker}(R) , то есть X изоморфно гильбертовому пространству, равно H/\operatorname{ker}(R) .

* Из утверждения продолжения можно затем сделать количественное утверждение о том, насколько близко банахово пространство с типом и котипом 2 к гильбертовому пространству: если банахово пространство X имеет тип и котип 2, то существует гильбертово пространство H с расстоянием Банаха-Мазура \le T_2(X)C_2(X) из X.

* Если банахово пространство X имеет тип 2 и Y\subset Projection (линейная алгебра)|projectable.



|Автор=Ф. Альбиак, Нью-Джерси Калтон
|Title=Темы теории банахового пространства
|Издатель=Springer-Verlag
|Дата=2006
|ISBN=978-0-387-28142-1
|Местоположение=Глава. 7.4 ''Теоремы Квапеня-Мори для пространств типа 2''
|Язык=ru


|Автор=С. Квапинь
|Title=Изоморфные характеристики пространств внутреннего произведения ортогональными рядами с векторными коэффициентами
|Коллекция=Студия Математика
|Объем=44
|Число=6
|Дата=1972
|Страницы=583–595
|Онлайн=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/sm/sm44/sm44150.pdf
|Язык=ru


|Автор=Б. Мори
|Title=Тип, котип и K-выпуклость
|Сборник=Справочник по геометрии банаховых пространств
|Группа=2
|DOI=10.1016/S1874-5849(03)80037-2
|Дата=2003
|Страницы=1299–1332
|Местоположение=1304
|Язык=ru



Категория:Функциональный анализ
Категория:Теорема (математика)|Квапиен-Мори, Теорема

Подробнее: https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_ ... %84-Maurey