График Хофмана ⇐ Васина Википедия

[wiki_en]

В математической области теории графов «семейство графов Хофмана» представляет собой бесконечное семейство конечных графов, введенное польским исследователем Радославом Хофманом (2025) в качестве масштабируемых эталонных экземпляров для изучения гамильтоновых путей и алгоритмов гамильтоновых циклов и связанных с ними подходов к задаче коммивояжера | Задача коммивояжера (TSP). |last=Хофман
|first=Радослав
|год=2025
|title=Контрпример к Diaby's et al. Решение задачи коммивояжера с помощью линейного программирования
|journal=Сложность
|объем=2025
|pages=Идентификатор статьи 3672180
|doi=10.1155/cplx/3672180


Графы Хофмана спроектированы так, чтобы быть структурно сбалансированными и равномерно связными, позволяя при этом явно контролировать существование гамильтоновых путей и циклов. Во многих случаях конструкция также определяет минимальное количество ребер, которое необходимо добавить, чтобы получить гамильтонов цикл.

Семейство было мотивировано необходимостью в больших экземплярах графов с известными свойствами гамильтоновости, которые позволяют избежать структурных узких мест или легко обнаруживаемых декомпозиций, которые могут искажать оценку алгоритмов.

== Определение ==
Графики Хофмана параметризуются двумя целыми числами и обычно обозначаются

:H(n,k)

где:
* n обозначает количество вершин во «внешней структуре» связанного контурного графа,
* k обозначает размер шага (расстояние), определяющий, как внешние вершины соединяются с внутренними компонентами.

Конструкция основана на обобщенных графах Петерсена, но отличается тем, что внутренняя структура может состоять из множества несвязных компонентов и что внешние-внутренние связи опосредуются специальными подграфами соединителей, называемыми «H-соединениями».

== Контурные графики ==
На первом этапе построения создаются графы меньшего размера, называемые «контурными графами Хофмана», обозначаемые

:oH(n,k)

Контурные графики состоят из:
* внешняя циклоподобная структура,
* один или несколько внутренних компонентов (часто нечетные циклы, такие как треугольники),
* вершины соединителя между внешней и внутренней частями.

Вместо того, чтобы напрямую соединять внешнюю и внутреннюю части, Хофман ввел вершину-соединитель, которая заставляет при любом обходе Гамильтона чередоваться между внешней и внутренней областями. Это ограничение чередования может предотвратить существование гамильтоновых путей или циклов в зависимости от четности и количества внутренних компонентов.

== Сбалансированные H-соединения ==
Чтобы получить большие тестовые графики с одинаковой степенью и связностью, Хофман ввел «сбалансированное H-соединение», заменяющее простой соединитель.

В сбалансированной конструкции каждое H-связность заменяется фиксированным подграфом из 15 вершин, который сохраняет гамильтоново ограничение чередования, но при этом гарантирует, что результирующий граф является регулярным. В полученных графах каждая вершина имеет степень 4.

Когда по всей схеме используется симметричный разъем, результирующие графики Хофмана обычно имеют следующий вид:
* '''4-регулярные''' (все вершины имеют степень 4),
* '''4-связный''' (в задуманной конструкции),
* масштабируется до произвольно большого размера.

Например, граф H(12,4) содержит 12 \cdot 15 = 180 вершин.

== Гамильтоновы свойства ==
Основная цель семейства графов Хофмана состоит в том, что гамильтоновы свойства контролируются конструкцией. В зависимости от параметров и выбранных внутренних компонентов граф Хофмана может:
* содержат гамильтонов цикл,
* содержат гамильтонов путь, но не содержат гамильтонов цикл,
* не содержат ни гамильтонова пути, охватывающего все вершины, ни гамильтонова цикла.

Кроме того, во многих случаях конструкция дает минимальное количество ребер, которое необходимо добавить для получения гамильтоновости.

Например:
* H(12,3) содержит гамильтонов цикл,
* H(12,5) содержит гамильтонов путь, но не содержит гамильтонов цикл,
* H(12,4) не содержит ни гамильтонова пути, охватывающего все вершины, ни гамильтонова цикла.

== Масштабирование и использование в тестах TSP ==
Хофман представил метод масштабирования для построения больших тестовых примеров задачи коммивояжера | TSP на основе графиков Хофмана путем встраивания их во взвешенный полный граф.

Метод добавляет две внешние вершины:
* назначенная начальная вершина и
* назначенная конечная вершина,

и назначает низкую стоимость ребрам внутри подграфа Хофмана и очень высокую стоимость всем остальным ребрам. Это заставляет оптимальные маршруты пересекать подграф Хофмана заданным образом. Поскольку количество требуемых «дорогих» ребер можно получить из свойств гамильтоновости базового графа Хофмана, оптимальное значение обхода можно вычислить аналитически для больших экземпляров.

Этот метод можно расширить путем объединения нескольких графов Хофмана в слоистые структуры, создавая экземпляры с сотнями или тысячами вершин, сохраняя при этом известные оптимальные затраты.

== Контрпример к формулировкам TSP на основе LP ==
Семейство графов Хофмана было введено Диаби и др. как часть контрпримера к предложенной формулировке линейного программирования полиномиального размера для TSP.

В подходе Диаби была предпринята попытка смоделировать действительные обходы TSP с использованием потокоподобных переменных и ограничений. Хофман построил тест на основе Хофмана, для которого известна истинная оптимальная стоимость TSP, в то время как релаксация LP дает строго меньшее целевое значение. Это демонстрирует существование возможных решений ЛП, которые не соответствуют действительным обходам («фантомные решения»).

Этот вариант использования подтверждает более широкую озабоченность тем, что линейные программы полиномиального размера не могут полностью охарактеризовать многогранник TSP без дополнительных доказательств, что согласуется с более ранними аргументами в литературе. |last=Хофман
|first=Радослав
|год=2006
|title=Почему линейное программирование не может решить большие случаи NP-полных задач за полиномиальное время
|eprint=cs/0611008
|класс=cs.CC


== Примеры ==
В следующей таблице приведены примеры экземпляров, описанных Хофманом.

== Связь с конструкциями типа Петерсена ==
Семейство графов Хофмана основано на обобщенных графах Петерсена, таких как классический граф Петерсена, но отличается по нескольким причинам:

* Внутренняя структура может состоять из нескольких несвязанных компонентов.
* Внешние и внутренние связи опосредуются H-связями, а не прямыми ребрами.
* Гамильтоновы свойства контролируются явно, а не случайно.
*Большие сбалансированные экземпляры получаются путем систематической замены разъемов.

В отличие от графа Петерсена, который является хорошо известным гипогамильтоновым графом, графы Хофмана могут быть построены гамильтоновыми, негамильтоновыми или не иметь гамильтоновых путей.

== См. также ==

* Гамильтонов путь
* Гамильтонов цикл
* Задача коммивояжера
* NP-полнота
* Обобщенный график Петерсена
* График Петерсена
* График Мередит

== Примечания ==

*

Графы в теории графов
Обычные графики
Гамильтонова теория графов
Задача коммивояжера
Теория сложности вычислений
NP-полные задачи

Подробнее: https://en.wikipedia.org/wiki/Hofman_Graph