Число Кемпнера ⇐ Васина Википедия

[wiki_en]

«Число Кемпнера» [https://arxiv.org/abs/1303.1685 Многоликое число Кемпнера], Борис Адамчевский, :::\kappa:=2^{-2^0} + 2^{-2^1} + 2^{-2^2} + \cdots = \sum_{n\ge 0} 2^{-2^n}.
Оно названо в честь Обри Кемпнера, который доказал, что это трансцендентное число|трансцендентное в 1916 году. ==Свойства==
По определению, двоичное разложение числа Кемпнера имеет нули везде, кроме тех мест, которые являются степенями двойки:
:κ = 0.110100010000000100000000000000010000000000000000000000000000000100... (основание два.)
Со времени первого доказательства трансцендентности Кемпнера было дано множество других доказательств; см. ссылки.Раздел 13.3, «Автоматические последовательности: теория, приложения, обобщения», Жан-Поль Аллуш, Джеффри Шалит, Cambridge University Press, 2003, ISBN 9780521823326,
Джеффри Шалит доказал, что она имеет простое разложение цепной дроби, которое можно получить с помощью следующей конструкции: # Начните с частичного раскрытия [0, 1, 3].
# Если частичное раскрытие равно [a, b, ..., y, z], замените его на [a, b, ..., y, z + 1, z - 1, y, ..., b].
# Если это сгенерировало ноль, замените [..., a, 0, b, ...] на [..., a + b, ...]
# Повторяйте шаги 2 и 3 до бесконечности.
Это порождает расширение :[0, 1, 4, 2, 4, 4, 6, 4, 2, 4, 6, ...]=0+\cfrac {1}{1+\cfrac {1}{4+\cfrac {1}{2 + \cfrac{1}{4 + \ _{\ddots}..
Легко увидеть, что после первых частичных частных все остальные равны 2, 4 или 6.

Поскольку его непрерывная дробь имеет ограниченные частичные частные, число Кемпнера имеет меру иррациональности 2.

Настоящие трансцендентные числа
Математические константы

Подробнее: https://en.wikipedia.org/wiki/Kempner_number