Мобильная версияХаверсин ⇐ Васина Википедия
-
Автор темыwiki_de
- Всего сообщений: 55594
- Зарегистрирован: 13.01.2023
Хаверсин
«Формула Хаверсина» представляет собой уравнение сферической тригонометрии, которое можно использовать для расчета расстояния по большому кругу между двумя точками на сферической поверхности по их географической долготе и географической широте. Он имеет большое значение в навигации и представляет собой частный случай более общего закона Хаверсина, который связывает стороны и углы сферических треугольников.
== История ==
=== Раннее развитие ===
Функция Хаверсинуса была впервые использована в навигационных таблицах в 1801 году испанским астрономом Хосе де Мендоса-и-Риосом, как документально подтверждено историком математики Флорианом Каджори.Флориан Каджори: «История математических обозначений». Том 2, 3-е издание. Издательство Open Court, Чикаго, 1952, с. 172. Мендоса-и-Риос опубликовал различные таблицы, в которых использовался метод Хаверсина (его изобретение) для упрощения расчетов морской астрономии и навигации.Хосе де Мендоса-и-Риос: «Memoria sobre algunos métodos nuevos de Calcular la longitud por las distances lunares». Импрента-Реаль, Мадрид, 1801 г. Его таблицы помогли рассчитать долготу с использованием лунных расстояний - одного из важнейших методов навигации XVIII и начала XIX веков.
Первая известная английская таблица гаверсинов была опубликована в 1805 году Джеймсом Эндрю под названием «Квадраты натуральных полухорд».Джеймс Эндрю: «Астрономические и морские таблицы». Лондон, 1805 г. Это обозначение относится к геометрическому смыслу функции как квадрата половины длины хорды.
=== Именование и распространение ===
Термин «Хаверсинус» был придуман в 1835 году Джеймсом Инманом в третьем издании его работы «Навигация и морская астрономия: для использования британскими моряками».Джеймс Инман: «Навигация и морская астрономия: для использования британскими моряками». 3-е издание. У. Вудворд, К. и Дж. Ривингтон, Лондон, 1835 г. Он представил эту новую таблицу, чтобы упростить расчет расстояний между двумя точками на земной поверхности с использованием сферической тригонометрии. Имя состоит из слов «ха» (от «половина») и «версина» и, следовательно, означает «половина версина».
Джеймс Инман (1776–1859) был английским математиком и астрономом, профессором математики Королевского военно-морского колледжа в Портсмуте и автором «Морских таблиц Инмана».Оксфордский национальный биографический словарь. Oxford University Press, 2004. Его введение функции Хаверсинуса значительно упростило формулы сферической тригонометрии, и его таблицы широко использовались всеми мореплавателями.
=== Историческое значение ===
До появления компьютеров устранение деления и умножения в два раза оказалось настолько удобным, что таблицы значений гаверсинусов и логарифмов были включены в учебники по навигации и тригонометрии 19 и начала 20 веков.Глен Роберт ван Бруммелен: «Небесная математика: забытое искусство сферической тригонометрии». Princeton University Press, 2013, ISBN 978-0-691-14892-2, стр. 123-125. В 1984 году в журнале Sky & Telescope («Достоинства гаверсина») Роджер Синнотт описал, как сама формула гаверсина может быть запрограммирована на BASIC на простом компьютере TRS-80 для точного расчета углового расстояния между звезды.Р. У. Синнотт: «Достоинства гаверсина». В: «Небо и телескоп». Том 68, № 2, 1984 г., с. 159.
== Основы математики ==
=== Функция Хаверсинус ===
Функция Хаверсинус определяется как:
\operatorname{hav}(\theta) = \sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 - \cos(\theta)}{2}
Функция Хаверсинус вычисляет половину версинусы угла θ или квадрат половины длины хорды угла на единичной окружности (сфере).Эрик В. Вайсстайн: «Хаверсинус». Математический мир. Получено 9. Январь 2025 г. Это связано со старой функцией Versine:
\operatorname{versin}(\theta) = 1 - \cos(\theta) = 2 \cdot \operatorname{hav}(\theta)
=== Формула Хаверсина ===
Для двух точек на сфере с координатами (φ₁, λ₁) и (φ₂, λ₂) — где φ обозначает широту, а λ — долготу, формула хаверсинуса выглядит так:Крис Венесс: «Рассчитать расстояние и пеленг между двумя точками широты/долготы, используя формулу гаверсинуса в JavaScript». Сценарии подвижного типа, 2019 г.
a = \sin^2\left(\frac{\Delta\varphi}{2}\right) + \cos(\varphi_1) \cdot \cos(\varphi_2) \cdot \sin^2\left(\frac{\Delta\lambda}{2}\right)
c = 2 \cdot \arcsin\left(\sqrt{a}\right)
d = r \cdot c
Это:
* ''' искомое расстояние
* ''r'' — радиус сферы (для Земли около 6371 км)
* Δφ = φ₂ - φ₁ (разность широт)
* Δλ = λ₂ - λ₁ (разница долгот)
=== Закон Хаверсина ===
Для «треугольника» на поверхности единичной сферы, определяемого большими кругами, соединяющими три точки u, v и w, закон Хаверсина гласит: Смарт, В.М.: «Учебник по сферической астрономии». 6-е издание. Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 1977, ISBN 0-521-29180-1, стр. 12–14.
\operatorname{hav}(c) = \operatorname{hav}(a-b) + \sin(a) \cdot \sin(b) \cdot \operatorname{hav}(C)
Где «a», «b» и «c» — длины сторон сферического треугольника, а «C» — угол, противоположный стороне «c».
== Числовые свойства ==
=== Численная стабильность ===
Ключевым преимуществом формулы Хаверсина является ее численная стабильность, особенно на небольших расстояниях.B. Хофманн-Велленхоф, Х. Лихтенеггер, Дж. Коллинз: «GPS - теория и практика». Springer, Vienna 2001, ISBN 3-211-83534-2. Поскольку в формуле Хаверсинуса используются синусоидальные функции, она позволяет избежать проблемы отмены, которая может возникнуть при использовании закона сферического косинуса.
Согласно закону сферического косинуса, когда точки расположены близко друг к другу (например, на расстоянии километра на Земле), может получиться cos(d/R) = 0,99999999, что приводит к неточным результатам.Синнотт, Р.В.: «Достоинства гаверсинуса». В: «Небо и телескоп». Том 68, № 2, 1984 г., с. 159. Формула Хаверсинуса позволяет обойти эту проблему, используя функцию синуса, которая численно более стабильна для малых углов.
=== Пределы точности ===
Формула Хаверсина является лишь приближением применительно к Земле, поскольку она не является идеальной сферой.Снайдер, Дж. П.: «Картографические проекции – рабочее руководство». Профессиональный документ геологической службы США 1395. Типография правительства США, Вашингтон, округ Колумбия, 1987, стр. 16–17. «Радиус Земли» R варьируется от 6356,752 км на полюсах до 6378,137 км на экваторе. Что еще более важно, радиус кривизны линии север-юг на поверхности Земли на 1% больше на полюсах (≈6399,594 км), чем на экваторе (≈6335,439 км), поэтому нельзя гарантировать точность формулы Хаверсина с точностью лучше 0,5%.Рапп, Ричард Х.: «Геометрическая геодезия, часть I». Университет штата Огайо, 1991, стр. 18–19.
Более точные методы, учитывающие эллиптичность Земли, дают формула Винсенти и другие формулы геодезического расстояния|географического расстояния.
== Сравнение с другими методами ==
=== Хаверсин против Винсенти ===
Формула Хаверсина и формула Винсенти являются двумя наиболее часто используемыми методами расчета расстояний на земной поверхности:Винсенти, Т.: «Прямое и обратное решения геодезических на эллипсоиде с применением вложенных уравнений». В: «Обзор обзора». Том 23, № 176, апрель 1975 г., стр. 88–93.
Пример: расстояние между Пуной (Индия) и Сиднеем (Австралия) составляет 6236,243 мили по формуле Хаверсина и 6231,892 мили по формуле Винсенти.GeeksforGeeks: «Формула Хаверсина для определения расстояния между двумя точками на сфере». 2022. Проверено 9. Январь 2025 г.
== Практическое применение ==
=== Навигация и движение ===
Формула Хаверсина вычисляет кратчайшее расстояние между двумя точками на сфере, используя их широту и долготу вдоль поверхности, и важна для навигации.Руководство Адмиралтейства по навигации. Том 1. Канцелярский офис, 1987, ISBN 0-11-772880-3. Используется в:
* Авиация: Расчет маршрутов полета и расстояний
* Мореплавание: Определение маршрутов судоходства
* GPS-навигация: расчет маршрута в навигационных устройствах
=== Геоинформационные системы ===
Формула Хаверсина используется в различных областях, таких как астрономия, геодезия и навигация.де Смит, М.Дж., Гудчайлд, М.Ф., Лонгли, Пенсильвания: «Геопространственный анализ». 6-е издание. The Winchelsea Press, 2018. Современные приложения включают:
* Картографические приложения и анализ геопространственных данных
* Услуги на основе местоположения
* Расчеты расстояний в базах данных
=== Реализация ===
Пример реализации на PHP:Розеттский код: «Формула Хаверсина». Проверено 9 января 2025 г.
== Пример расчета ==
Формулу Хаверсина можно использовать для оценки приблизительного расстояния между Белым домом в Вашингтоне, округ Колумбия (38,898° северной широты, 77,037° западной долготы) и Эйфелевой башней в Париже (48,858° северной широты, 2,294° восточной долготы).США. Национальная геодезическая служба: «Инструмент преобразования и преобразования координат NGS (NCAT)». Проверено 9 января 2025 г.
Пошаговый расчет:
# Преобразование в радианы
# Расчет разностей: Δφ = 0,1737 рад, Δλ = 1,3734 рад
# Применение формулы Хаверсина
# Результат: d ≈ 6166 км
==Связанные функции ==
Функция Хаверсинуса принадлежит к семейству тригонометрических функций:Абрамовиц М., Стегун И.А.: «Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами». Дувр, Нью-Йорк, 1964, с. 78.
* Версинус: версин(θ) = 1 - cos(θ) = 2·hav(θ)
* Коверсинус: Coversin(θ) = 1 - sin(θ) = versin(π/2 - θ)
* Хаверкосинус: havercos(θ) = (1 + cos(θ))/2
* Эксекант: exsec(θ) = sec(θ) - 1
== См. также ==
* Сферическая тригонометрия
* Большой круг
* Географические координаты
* Навигация
== Литература ==
* Джеймс Инман: «Навигация и морская астрономия: для использования британскими моряками». 3-е издание. У. Вудворд, К. и Дж. Ривингтон, Лондон, 1835 г.
* Хосе де Мендоса-и-Риос: «Мемориал о новых методах расчета долготы на лунные расстояния». Импрента Реал, Мадрид, 1801 г.
* Флориан Каджори: «История математических обозначений». Том 2, 3-е издание. Издательство Open Court, Чикаго, 1952, с. 172.
* Глен Роберт ван Бруммелен: «Небесная математика: забытое искусство сферической тригонометрии». Издательство Принстонского университета, 2013, ISBN 978-0-691-14892-2.
* Р. У. Синнотт: «Достоинства гаверсина». В: «Небо и телескоп». Том 68, № 2, 1984 г., с. 159.
* [https://www.movable-type.co.uk/scripts/latlong.html Вычислить расстояние и азимут между двумя точками широты и долготы] – интерактивная реализация формулы Хаверсинуса
* [https://rosettacode.org/wiki/Haversine_formula Формула Хаверсина] — реализации на различных языках программирования
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Haversine_formula Формула Хаверсина] в англоязычной Википедии
Категория:Навигация
Категория:Математическая география
Категория:Геодезия
Категория:Геолокация
Подробнее: https://de.wikipedia.org/wiki/Haversine
«Формула Хаверсина» представляет собой уравнение сферической тригонометрии, которое можно использовать для расчета расстояния по большому кругу между двумя точками на сферической поверхности по их географической долготе и географической широте. Он имеет большое значение в навигации и представляет собой частный случай более общего закона Хаверсина, который связывает стороны и углы сферических треугольников.
== История ==
=== Раннее развитие ===
Функция Хаверсинуса была впервые использована в навигационных таблицах в 1801 году испанским астрономом Хосе де Мендоса-и-Риосом, как документально подтверждено историком математики Флорианом Каджори.Флориан Каджори: «История математических обозначений». Том 2, 3-е издание. Издательство Open Court, Чикаго, 1952, с. 172. Мендоса-и-Риос опубликовал различные таблицы, в которых использовался метод Хаверсина (его изобретение) для упрощения расчетов морской астрономии и навигации.Хосе де Мендоса-и-Риос: «Memoria sobre algunos métodos nuevos de Calcular la longitud por las distances lunares». Импрента-Реаль, Мадрид, 1801 г. Его таблицы помогли рассчитать долготу с использованием лунных расстояний - одного из важнейших методов навигации XVIII и начала XIX веков.
Первая известная английская таблица гаверсинов была опубликована в 1805 году Джеймсом Эндрю под названием «Квадраты натуральных полухорд».Джеймс Эндрю: «Астрономические и морские таблицы». Лондон, 1805 г. Это обозначение относится к геометрическому смыслу функции как квадрата половины длины хорды.
=== Именование и распространение ===
Термин «Хаверсинус» был придуман в 1835 году Джеймсом Инманом в третьем издании его работы «Навигация и морская астрономия: для использования британскими моряками».Джеймс Инман: «Навигация и морская астрономия: для использования британскими моряками». 3-е издание. У. Вудворд, К. и Дж. Ривингтон, Лондон, 1835 г. Он представил эту новую таблицу, чтобы упростить расчет расстояний между двумя точками на земной поверхности с использованием сферической тригонометрии. Имя состоит из слов «ха» (от «половина») и «версина» и, следовательно, означает «половина версина».
Джеймс Инман (1776–1859) был английским математиком и астрономом, профессором математики Королевского военно-морского колледжа в Портсмуте и автором «Морских таблиц Инмана».Оксфордский национальный биографический словарь. Oxford University Press, 2004. Его введение функции Хаверсинуса значительно упростило формулы сферической тригонометрии, и его таблицы широко использовались всеми мореплавателями.
=== Историческое значение ===
До появления компьютеров устранение деления и умножения в два раза оказалось настолько удобным, что таблицы значений гаверсинусов и логарифмов были включены в учебники по навигации и тригонометрии 19 и начала 20 веков.Глен Роберт ван Бруммелен: «Небесная математика: забытое искусство сферической тригонометрии». Princeton University Press, 2013, ISBN 978-0-691-14892-2, стр. 123-125. В 1984 году в журнале Sky & Telescope («Достоинства гаверсина») Роджер Синнотт описал, как сама формула гаверсина может быть запрограммирована на BASIC на простом компьютере TRS-80 для точного расчета углового расстояния между звезды.Р. У. Синнотт: «Достоинства гаверсина». В: «Небо и телескоп». Том 68, № 2, 1984 г., с. 159.
== Основы математики ==
=== Функция Хаверсинус ===
Функция Хаверсинус определяется как:
\operatorname{hav}(\theta) = \sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 - \cos(\theta)}{2}
Функция Хаверсинус вычисляет половину версинусы угла θ или квадрат половины длины хорды угла на единичной окружности (сфере).Эрик В. Вайсстайн: «Хаверсинус». Математический мир. Получено 9. Январь 2025 г. Это связано со старой функцией Versine:
\operatorname{versin}(\theta) = 1 - \cos(\theta) = 2 \cdot \operatorname{hav}(\theta)
=== Формула Хаверсина ===
Для двух точек на сфере с координатами (φ₁, λ₁) и (φ₂, λ₂) — где φ обозначает широту, а λ — долготу, формула хаверсинуса выглядит так:Крис Венесс: «Рассчитать расстояние и пеленг между двумя точками широты/долготы, используя формулу гаверсинуса в JavaScript». Сценарии подвижного типа, 2019 г.
a = \sin^2\left(\frac{\Delta\varphi}{2}\right) + \cos(\varphi_1) \cdot \cos(\varphi_2) \cdot \sin^2\left(\frac{\Delta\lambda}{2}\right)
c = 2 \cdot \arcsin\left(\sqrt{a}\right)
d = r \cdot c
Это:
* ''' искомое расстояние
* ''r'' — радиус сферы (для Земли около 6371 км)
* Δφ = φ₂ - φ₁ (разность широт)
* Δλ = λ₂ - λ₁ (разница долгот)
=== Закон Хаверсина ===
Для «треугольника» на поверхности единичной сферы, определяемого большими кругами, соединяющими три точки u, v и w, закон Хаверсина гласит: Смарт, В.М.: «Учебник по сферической астрономии». 6-е издание. Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 1977, ISBN 0-521-29180-1, стр. 12–14.
\operatorname{hav}(c) = \operatorname{hav}(a-b) + \sin(a) \cdot \sin(b) \cdot \operatorname{hav}(C)
Где «a», «b» и «c» — длины сторон сферического треугольника, а «C» — угол, противоположный стороне «c».
== Числовые свойства ==
=== Численная стабильность ===
Ключевым преимуществом формулы Хаверсина является ее численная стабильность, особенно на небольших расстояниях.B. Хофманн-Велленхоф, Х. Лихтенеггер, Дж. Коллинз: «GPS - теория и практика». Springer, Vienna 2001, ISBN 3-211-83534-2. Поскольку в формуле Хаверсинуса используются синусоидальные функции, она позволяет избежать проблемы отмены, которая может возникнуть при использовании закона сферического косинуса.
Согласно закону сферического косинуса, когда точки расположены близко друг к другу (например, на расстоянии километра на Земле), может получиться cos(d/R) = 0,99999999, что приводит к неточным результатам.Синнотт, Р.В.: «Достоинства гаверсинуса». В: «Небо и телескоп». Том 68, № 2, 1984 г., с. 159. Формула Хаверсинуса позволяет обойти эту проблему, используя функцию синуса, которая численно более стабильна для малых углов.
=== Пределы точности ===
Формула Хаверсина является лишь приближением применительно к Земле, поскольку она не является идеальной сферой.Снайдер, Дж. П.: «Картографические проекции – рабочее руководство». Профессиональный документ геологической службы США 1395. Типография правительства США, Вашингтон, округ Колумбия, 1987, стр. 16–17. «Радиус Земли» R варьируется от 6356,752 км на полюсах до 6378,137 км на экваторе. Что еще более важно, радиус кривизны линии север-юг на поверхности Земли на 1% больше на полюсах (≈6399,594 км), чем на экваторе (≈6335,439 км), поэтому нельзя гарантировать точность формулы Хаверсина с точностью лучше 0,5%.Рапп, Ричард Х.: «Геометрическая геодезия, часть I». Университет штата Огайо, 1991, стр. 18–19.
Более точные методы, учитывающие эллиптичность Земли, дают формула Винсенти и другие формулы геодезического расстояния|географического расстояния.
== Сравнение с другими методами ==
=== Хаверсин против Винсенти ===
Формула Хаверсина и формула Винсенти являются двумя наиболее часто используемыми методами расчета расстояний на земной поверхности:Винсенти, Т.: «Прямое и обратное решения геодезических на эллипсоиде с применением вложенных уравнений». В: «Обзор обзора». Том 23, № 176, апрель 1975 г., стр. 88–93.
Пример: расстояние между Пуной (Индия) и Сиднеем (Австралия) составляет 6236,243 мили по формуле Хаверсина и 6231,892 мили по формуле Винсенти.GeeksforGeeks: «Формула Хаверсина для определения расстояния между двумя точками на сфере». 2022. Проверено 9. Январь 2025 г.
== Практическое применение ==
=== Навигация и движение ===
Формула Хаверсина вычисляет кратчайшее расстояние между двумя точками на сфере, используя их широту и долготу вдоль поверхности, и важна для навигации.Руководство Адмиралтейства по навигации. Том 1. Канцелярский офис, 1987, ISBN 0-11-772880-3. Используется в:
* Авиация: Расчет маршрутов полета и расстояний
* Мореплавание: Определение маршрутов судоходства
* GPS-навигация: расчет маршрута в навигационных устройствах
=== Геоинформационные системы ===
Формула Хаверсина используется в различных областях, таких как астрономия, геодезия и навигация.де Смит, М.Дж., Гудчайлд, М.Ф., Лонгли, Пенсильвания: «Геопространственный анализ». 6-е издание. The Winchelsea Press, 2018. Современные приложения включают:
* Картографические приложения и анализ геопространственных данных
* Услуги на основе местоположения
* Расчеты расстояний в базах данных
=== Реализация ===
Пример реализации на PHP:Розеттский код: «Формула Хаверсина». Проверено 9 января 2025 г.
== Пример расчета ==
Формулу Хаверсина можно использовать для оценки приблизительного расстояния между Белым домом в Вашингтоне, округ Колумбия (38,898° северной широты, 77,037° западной долготы) и Эйфелевой башней в Париже (48,858° северной широты, 2,294° восточной долготы).США. Национальная геодезическая служба: «Инструмент преобразования и преобразования координат NGS (NCAT)». Проверено 9 января 2025 г.
Пошаговый расчет:
# Преобразование в радианы
# Расчет разностей: Δφ = 0,1737 рад, Δλ = 1,3734 рад
# Применение формулы Хаверсина
# Результат: d ≈ 6166 км
==Связанные функции ==
Функция Хаверсинуса принадлежит к семейству тригонометрических функций:Абрамовиц М., Стегун И.А.: «Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами». Дувр, Нью-Йорк, 1964, с. 78.
* Версинус: версин(θ) = 1 - cos(θ) = 2·hav(θ)
* Коверсинус: Coversin(θ) = 1 - sin(θ) = versin(π/2 - θ)
* Хаверкосинус: havercos(θ) = (1 + cos(θ))/2
* Эксекант: exsec(θ) = sec(θ) - 1
== См. также ==
* Сферическая тригонометрия
* Большой круг
* Географические координаты
* Навигация
== Литература ==
* Джеймс Инман: «Навигация и морская астрономия: для использования британскими моряками». 3-е издание. У. Вудворд, К. и Дж. Ривингтон, Лондон, 1835 г.
* Хосе де Мендоса-и-Риос: «Мемориал о новых методах расчета долготы на лунные расстояния». Импрента Реал, Мадрид, 1801 г.
* Флориан Каджори: «История математических обозначений». Том 2, 3-е издание. Издательство Open Court, Чикаго, 1952, с. 172.
* Глен Роберт ван Бруммелен: «Небесная математика: забытое искусство сферической тригонометрии». Издательство Принстонского университета, 2013, ISBN 978-0-691-14892-2.
* Р. У. Синнотт: «Достоинства гаверсина». В: «Небо и телескоп». Том 68, № 2, 1984 г., с. 159.
* [https://www.movable-type.co.uk/scripts/latlong.html Вычислить расстояние и азимут между двумя точками широты и долготы] – интерактивная реализация формулы Хаверсинуса
* [https://rosettacode.org/wiki/Haversine_formula Формула Хаверсина] — реализации на различных языках программирования
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Haversine_formula Формула Хаверсина] в англоязычной Википедии
Категория:Навигация
Категория:Математическая география
Категория:Геодезия
Категория:Геолокация
Подробнее: https://de.wikipedia.org/wiki/Haversine