Маасс -Шимура Оператор ⇐ Васина Википедия

[wiki_en]

В теории чисел, в частности, изучение модульных форм, «Масс -маас -маймура» - это оператор, который отображает модульные формы почти голоморфными модульными формами.

== определение ==
Оператор Maass -Shimura на (почти голоморфических) модульных формах веса k < /math> определяется
\ delta_kf (z): = \ frac {1} {2 \ pi i} \ left (\ frac {k} {2iy}+\ frac {\ partial} {\ partial z} \ right) f (z) < /math>
где y является воображаемой частью z .

Можно аналогично определить повторный оператор маас -шимура:
\ delta_k^{(n)}: = \ delta_ {k+2n-2} \ delta_ {k+2n-4} \ cdots \ delta_ {k+2} \ delta_k = \ frac {1} {(2 \ pi n)^n} \ left (\ frac {k+2n-2} {2iy}+\ frac {\ partial} {\ partial z} \ right) \ left (\ frac {k+2n-4} {2iy}+\ frac {\ partial} {\ partial z} \ right) \ cdots \ left (\ frac {k+2} {2iy}+\ frac {\ partial} {\ partial z} \ right) \ left (\ frac {k} {2iy}+\ frac {\ partial} {\ partial z} \ right).
== Свойства ==
Маасс -Шимура Операторы повышают вес модульности функции на 2. Если f модульный вес k относительно подгруппы конгруппы \ gamma \ subteq \ mathrm {sl} _2 (\ z) , затем \ delta_kf wew> wew> wew> wew> wew> wew> wew> wew> wew> wew> wew> wew> wew> wew> wew> wew> wew> wew> wew> wew> wew> wie> wew> wew> wew> wew> wew> wew wew> wew> wew wew>. name = "shimura"> (\ delta_kf) (\ gamma z) = (\ delta_kf (z)) (cz+d)^{k+2} \ Quad \ text {для любого} \ gamma = \ begin {pmatrix} a & b \\ c & d end {pmatrix} \ in \ gamma. Тем не менее, \ delta_kf < /math> не является модульной формой из-за введения неломорфной части.

Операторы MAASS -SHIMURA Следуют правилу продукта: для почти голоморфных модульных форм f и G с соответствующими весами k и \ ell (из которого видно, что fg является модульным с весом k+\ ell ), один имеет
wews \ ell ), у одного есть
new
wews

Используя математическую индукцию | Индукция, видно, что повторный оператор Maass -Shimura удовлетворяет следующую идентичность:
\ delta_k^{(n)} = \ sum_ {r = 0}^n (-1)^{n-r} \ binom {n} {r} \ frac {k+r) _ {n-r {(4 \ pi y)^{n-r \ frac {1} {(2 \ pi i)^r} \ frac {\ partial^r} {\ Partial z^r} < /math>
где (a) _m = \ gamma (a+m)/\ gamma (a) - это падающие и восходящие факториалы | Символ Pochhammer.
Lanphier показал связь между операторами кронштейнов Maass -Shimura и Rankin -Cohen: (\ delta_k^{(n)} f (z)) g (z) = \ sum_ {j = 0}^n \ frac {(-1)^j \ binom {n} {j} \ binom {k+n-1} {n-j {\ binom {k+\ ell+2j-2} {j} \ binom {k+\ ell+n+j-1} {n-j \ delta_ {k+\ ell+2j}^{n-j)} ([f, g] _j (z))
где f - модульная форма веса k и g - модульная форма веса \ ell .

Модульные формы

Подробнее: https://en.wikipedia.org/wiki/Maass%E2% ... a_operator