Измерения теории в топологических векторных пространствах ⇐ Васина Википедия

[wiki_en]

«Теория измерений в топологических векторных пространствах» «Относится к расширению теории мер на топологические векторные пространства. Такие пространства часто являются бесконечными измеренными, но многие результаты классической теории измерений сформулированы для конечномерных пространств и не могут быть непосредственно перенесены. Это уже очевидно в случае измерения Lebesgue, которая не существует в общих бесконечных пространствах.

В статье рассматриваются только топологические векторные пространства, которые также обладают свойством Хаусдорфа. Векторные пространства без топологии математически не так интересны, потому что такие понятия, как сходимость и непрерывность, там не определены.
== σ-альгебра ==
Let (x, \ mathcal {t}) топологическое векторное пространство, x^* двойное пространство | Алгебраическое двойное пространство и x ' Двойное пространство#Топологическое двойное пространство | Топологическое двойное пространство. В топологических векторных пространствах существуют три выдающихся σ-алгебры | σ-альгебра:
* BOREL σ-Algebra \ mathcal {b} (x) : генерируется открытыми наборами \ mathcal {t} .
* Цилиндрическая σ-альгебра \ mathcal {e} (x, x ') : генерируется двойным пространством x' .
* Baire Set | Baire σ-Algebra \ mathcal {b} _0 (x) : генерируется всеми непрерывными функциями c (x, \ mathbb {r}) . Baire σ-Algebra также отмечена \ mathcal {ba} (x) < /math>.

Следующие отношения сохраняются:
: \ MathCal {e} (x, x ') \ subteTQ \ MathCal {b} _0 (x) \ subteq \ mathcal {b} (x) < /math>
где \ mathcal {e} (x, x ') \ subseteq \ mathcal {b} _0 (x) < /math> очевидно.
=== Цилиндрическая σ-альгебра ===

Пусть x и y быть двумя векторными пространствами в двойственности. Набор формы
: c_ {f_1, \ dots, f_n, b}: = \ {x \ in x \ colon (\ langle x, f_1 \ rangle, \ dots, \ langle x, f_n \ rangle) \ in b \} < /math>
Для b \ in \ mathcal {b} (\ mathbb {r}^n) и f_1, \ dots, f_n \ in y называется набором цилиндров, и если b открыт, то это открытый набор цилиндров. Набор всех цилиндров - \ mathfrak {a} _ {f_1, \ dots, f_n} < /math> и
:\mathcal{E}(X,Y)=\sigma\left(\mathcal{Zyl}(X,Y)\right)=\sigma\left(\bigotimes_{n\in \mathbb{N \mathfrak{A}_{f_1,\dots,f_n}\right)
называется цилиндрической σ-алгеброй. Наборы цилиндров и набор открытых цилиндров генерируют одну и ту же цилиндрическую σ-альгебру.
Для слабой топологии t_s: = t_s (x, x ') цилиндрическая σ-algebra \ mathcal {e} (x, x') -Baire σ-Algebra of (x, t_s) .
== Меры ==
Одним из способов построить меру на бесконечномерном пространстве является сначала определить меру на конечных пространствах, а затем расширить ее до бесконечномерных пространств в качестве проективной системы. Это приводит к понятию цилиндрической меры | Цилиндрическая мера, которая, по словам Израиля Гельфанда | Израиль Моисевич Гельфанд и Наум Яковлевич Виленкин, происходит от Андрея Николаеевич Колмогоров.
=== Цилиндрические меры ===

Let (x, \ mathcal {t}) топологическое векторное пространство над \ mathbb {r} и x^* его двойное пространство#алгебраическое двойное пространство | алгебраическое двойное пространство. Кроме того, пусть f быть векторным пространством функциональных (математика) #lineear функционала | Линейные функциональные функции на x , то есть f \ subteq x^*.

Функция SET
: \ nu: \ mathcal {zyl} (x, f) \ to \ mathbb {r}+< /math>
называется цилиндрической мерой, если для каждой конечной подмножество g: = \ {f_1, \ dots, f_n \} \ subteq f с n \ in \ mathbb {n} , ограничение
n \ in \ mathbb {n} , ограничение
: \ nu: \ mathcal {e} (x, g) \ to \ mathbb {r}+< /math>
σ-аддитивная функция, то есть, \ nu -мера.
Let \ gamma \ subsle x^*. Цилиндрическая мера \ mu на x , как говорят, имеет слабый порядок p (или быть слабым типом p ), если p -й слабый момент (математика) | Момент существует, то есть
: \ int_e | \ langle f, x \ rangle |^p, d \ mu (f)
Для всех f \ in \ gamma .
=== Радон мера ===
Каждая мера радона индуцирует цилиндрическую меру, но обратное неправда.
=== Некоторые результаты ===
Существует много результатов, когда цилиндрическая мера может быть расширена на меру радона, такую ​​как теорема Minlos
Пусть быть сбалансированным набором | Сбалансированный, выпуклый набор | Выпуклый, ограниченный набор | ограниченный и закрытый набор | Закрытый подмножество локально выпуклого пространства e , затем e_a обозначало подпространство e , которое генерируется A . A balanced, convex, bounded subset A of a locally convex Hausdorff space E is called a Hilber set if the Banach space E_A has a Hilbert space structure, i.e. the norm \|\cdot\|_{E_A} of E_A can be deduced from a Скалярное продукт и e_a завершен.
==== Теорема Сазонов-бадрикиан ====
Пусть e быть квази-полным пространством | Квази-полное локально выпуклое пространство Hausdorff и e'_c Будь двойным оборудованием топологией равномерной конвергенции на компактном наборе | Компактные подмножества в e_c . Предположим, что каждая подмножества e содержится в сбалансированном, выпуклом, компактном наборе Hilbert. Функция положительной определенности | Позитивный тип f на e'_c -это преобразование Фурье из меры радона на e , если и только тогда, когда функция непрерывна для оператора Hilbert-Schmidt | Матберт-schmidt, связанная с топологией (Math> e'_c

Подробнее: https://en.wikipedia.org/wiki/Measure_t ... tor_spaces