Hurewicz-Ther ⇐ Васина Википедия

[wiki_de]

'' '' 'hurewicz-Theorem' '' в математике | Математическая подразделение алгебраической топологии | Алгебраическая топология является фундаментальным результатом для сочетания гомотопной теории с гомологией посредством «Hurewicz-Homorphism». Аналоговая теорема и аналоговый гомоморфизм объединяют теорию когомотопье с теорией кохомологии. Теорема названа в честь Витолда Хуревича и обобщает более ранние результаты Анри Пуанкаре.

== hurewicz-homomorphimus ==
Be u_n \ in h_n (s^n, \ mathbb {z}) \ cong \ mathbb {z} генератор. Для пространства, которое было связано |
: H_N \ Colon
\ pi_n (x) \ RightTarrow h_n (x, \ mathbb {z}),
[\ gamma] \ mapsto \ gamma_*u_n
= H_n (\ gamma) (u_n) < /math>

«Хуревич гомоморфизм».
Be p_n \ colon s^n \ twwoHeadrighttarrow s^n \ vee s^n The illustration, which collapses the equator of the sphere, then for homotopie classes [\ gamma] \ in \ pi_n (x) your link is given by [\ gamma]+[\ delta]
= [(\ gamma \ vee \ delta) \ circ p_n] \ in \ pi_n (x) . Это применимо:

: h_n ([\ gamma]+[\ delta])
= H_n ((\ gamma \ vee \ delta) \ circ p_n)
= ((\ gamma \ vee \ delta) \ circ p_n) _*u_n
= (\ gamma \ vee \ delta) _*{p_n} _*u_n
= (\ gamma \ vee \ delta) _*(u_n, u_n)
= (\ gamma_*u_n)+(\ delta_*u_n)
= h_n ([\ gamma])+h_n ([\ delta]). < /math>

Кроме того, гомоморфизм Hurewicz (похожий на фронтеносхоморфизм | гомоморфизм Форбениуса) даже совместим с изменением основного пространства и, следовательно, даже естественной трансформации h_n \ colon
\ pi_n \ RightTarrow h_n (-, \ mathbb {z}) . Для устойчивой иллюстрации f \ colon x \ rightTarrow y между топологическими комнатами x и y , каждая из которых гомоморфизмы \ pi_n (f) \ poly \ pi_n (x) \ rughtrow \ pi_n (y) и h_n (f) \ h__n (y) и h__n (f) \ h__n (y) и h__n (x) и h__ \ H_N (y) < /math> индуцирован, поскольку гомотопия и гомологичные группы - Furter, применяется:

: \ big (h_n (f) \ circ h_n^{(x)} \ big) ([\ gamma])
= H_n (f) \ big (h_n (\ gamma) (u_n) \ big)
= H_n (f \ circ \ gamma) (u_n)
= h_n^{(y)} ([f \ circ \ gamma])
= \ Big (h_n^{(y)} \ circ \ pi_n (f) \ big) ([\ gamma]). < /math>

== hurewicz-теория ==

* Be n = 1 < /math>, затем гомоморфизм Hurewicz h_1 \ colon
индуцирует \ pi_1 (x) \ righttarrow h_1 (x, \ mathbb {z}) ansomorphism \ pi_1 (x)^\ mathrm {ab} \ rightTarrow h_1 (x, \ mathbb {z}) первая гомологичная группа.
* Be n \ geq 2 и x дополнительно n-1 -Changend, то есть \ pi_k (x) \ cong 1 для k \ leq n-1 , почему \ pi_n (x) homotope Group. Тогда гомоморфизмы Hurewicz - h_k \ colon
\ pi_k (x) \ righttarrow h_k (x, \ mathbb {z}) each isomorphisms for k \ leq n , which also \ widtilde _K (x) \ cong 1 k \ leq n-1 h_n (x) \ cong \ pi_n (x) . Кроме того, гомоморфизм Hurewicz составляет h_ {n+1} \ colon
\ pi_ {n+1} (x) \ righttarow h_ {n+1} (x, \ mathbb {z}) surjiv. Хэтчер 2002, Теорема 4.32 на с.
== hurewicz иллюстрация ==
В дополнение к гомоморфизму Hurewicz, существует также изображение Hurewicz, которое сочетает в себе кохомотопные величины и группы кохомологизма. Однако, поскольку когомотопные величины обычно не имеют структуры и, следовательно, уже представляют подчиненные интересы по сравнению с гомотопными группами, то же самое относится и к изображению Hurewicz. Тем не менее, ваша конструкция элегантна и проницательна. Кохомотопия и единственная кохомология являются представительным радио | Репрезентативное радио, а именно через сферу и комнату Эйленберга-Маклана | Eilenberg-Maclane Rooms:

: \ pi^n
\ cong [-, s^n]; < /math>
: h^n (-, \ mathbb {z})
\ Cong [-, k (\ mathbb {z}, n)]. < /math>

Согласно Yoneda-Lemma, естественным преобразованием является \ pi^n \ righttarrow h^n (-, \ mathbb {z}) эквивалент, заданный устойчивой иллюстрацией s^n \ rightTarrow k (\ mathbb {z}, n) . Такое это на самом деле каноническое от башни Postnikow | Постниковская башня сферы, в которой их гомотопные группы удаляются из сверху до тех пор, пока остается только \ pi_n (s^n) \ cong \ mathbb {z} .

== Литература ==

*

* nlab: hurewicz+теорема | Теорема Hurewicz на NLAB (английский язык | английский)



Категория: Алгебраическая топология

Подробнее: https://de.wikipedia.org/wiki/Hurewicz-Theorem