Скелетонизация категорий слияния ⇐ Васина Википедия

[wiki_en]

В математике «скелетизация скелетизации скелетирования»-это процесс, посредством которого один извлекает основные данные категории слияния или связанного категориального объекта с точки зрения минимальной теории наборов | Метора-теоретическая информация. Эта теоретическая информация называется «скелетными данными» категории Fusion. Этот процесс связан с общей техникой скелета (теория категории) | Скелетонизация в теории категорий. Скелетонизация часто используется для работы с примерами
Соответствующая особенность категории слияния | Слияние, которая делает технику эффективной скелетизации,-это сильные условия ограничения, размещенные на категориях слияния, такие как требования, которые они имеют конечно много класса изоморфизма | Изоморфизм классов Lemma Schur | Простые объекты, и все их пространство в гоме | Дома. Это позволяет кодировать всю категориальную структуру категории слияния в конечном количестве комплексного числа | Комплексные числа, расположенные в тензоре. Условия когерентности | Условия когерентности по категориям слияния превращаются в условия совместимости на тензорах.

В этом контексте скелетонизация является противоположным процессом категории, который принимает теорию сет-теоретичной информации и превращает ее в теорию категорий | Теоретические данные категории.

== для категорий слияния ==
Скелетонизация категорий слияния часто указывается в терминах строковых диаграмм | Строковые диаграммы. Моноидная категория | Тензорский продукт обозначается путем размещения строк рядом друг с другом.
Let \ mathcal {c} обозначает категорию слияния. Let \ mathcal {l} обозначает набор классов изоморфизма простых объектов \ mathcal {c} . По определению категории слияния, \ mathcal {l} является конечным набором и содержит выдающийся элемент [{\ bf 1}] , соответствующий тензору. Since fusion categories are Semi-simplicity|semi-simple, for all [A], \in \mathcal{L}, there is a decomposition A\otimes B\cong \bigoplus_{[C]\in \mathcal{LN^{A,B}_{C}\cdot C. Эти коэффициенты n^{a, b} _ {c} являются неотрицательными целыми числами, которые зависят только от классов изоморфизма a, b, c \ in \ mathcal {c} и называются коэффициентами слияния
Учитывая простые объекты a, b, c \ in \ mathcal {c} , любые морфизмы \ eta: c \ to a \ otimes b могут быть изображены с использованием понятия строковых диаграмм следующим образом.
Состав элементарных морфизмов может быть использован для определения F-символов. F-символы представляют собой 10-индексные тензоры, которые кодируют ассоциативность моноидной структуры, аналогично символам 6-J символа | 6J. Given any simple objects A,B,C,D,E,F\in\mathcal{C} and morphisms \nu:E\to D\otimes C, \mu: D\to A\otimes B, \beta: E\to A\otimes F, \alpha: F\to B \otimes C Существует f-symbol (f^{a, b, c} _ {d; e, f})^{\ mu, \ nu} _ {\ alpha, \ beta} . Эти символы неявно определены через отношение
В этом определении F-символов сумма принимается над простыми объектами [f] \ in \ mathcal {l} , а также некоторые основы карт \ alpha: f \ to b \ otimes c и \ beta: e \ to \ otimes f . Значения F-символов зависят от этого выбора основы. Выбор другого выбора основы элементарных пространств слияния называется преобразованием датчика | преобразование датчика на F-символах. По лемме Шура, измерение слиянных пространств равна коэффициентам слияния \ text {dim} _ {\ mathbb {c (\ text {hom} _ {\ mathcal {c (a, b \ otimes c)) = n^{a, b} {c} , как номеры, значения. коэффициенты.

== Для категорий слияния без множественности ==
Категория слияния называется без множественности, если все его коэффициенты слияния равны 0 или 1.
== Для категорий плетеных слияний ==
Плетеная моноидная структура на категории слияния может быть изображена следующим образом.
Мы можем использовать эти элементарные морфизмы для определения R-символов. R-символы представляют собой 5-индексные тензоры, которые кодируют структуру плетения категории. Учитывая любые простые объекты a, b, c \ in \ mathcal {c} и \ mu: a \ to b \ otimes c и \ nu: c \ to b \ otimes a есть r-symbol (r^{a, b} _ {c})^^^{\ _ {_ {_ {_ {_ {_ {_ {\ n. Эти символы неявно определены через отношение

== Для категорий модульных тензоров ==
Сферическая категория | ключевая структура на категории модульной тензорной категории (или, в более общем смысле, до модулярного тензора) может быть кодируется скелета. \ mathcal {c} . Структура ленты получается из плетения и сферической структуры с помощью леммы Делиньи, которая говорит, что сферические структуры и ленточные структуры эквивалентны в присутствии плетения.

Теория категории
Топологическая квантовая механика

Подробнее: https://en.wikipedia.org/wiki/Skeletoni ... categories