Хартман - Уотсон ⇐ Васина Википедия

[wiki_en]

'' '' Hartman-Watson Distribution '' '(также называется' '' развернутым фон Мизесом распределением '' '') является абсолютно непрерывным распределением вероятностей. Он назван в честь Филиппа Хартмана и Джеффри С. Уотсона, которые столкнулись с распределением, изучая взаимосвязь между движением Брауниан на N-сферу и распределением фон Мизес.
Распределение используется в финансовой математике для вычисления цен на азиатский вариант | азиатские варианты в модели Black-Scholes.
== Hartman-Watson Distribution ==
=== Определение ===
«'' '' Hartman-Watson Distribution '' '-это распределения вероятностей (\ mu_r) _ {r> 0} < /math>, которые удовлетворяют следующему отношению с преобразованием Лапласа:
: \ int_0^\ infty e^{-u^2t/2} \ mu_r (\ mathrm {d} t) = \ frac {i_ {| u |} (r)} {i_0 (r)} \ Quad для u \ in \ r, \; r> 0 < /math>,
где i_ \ nu (r) < /math> обозначает дифференциальное уравнение Бесселя#Модифицированные функции Бесселя | Модифицированная функция Бесселя первого вида, которое определяется как
: i_ \ nu (t): = \ sum_ {n = 0}^\ infty \ frac {(\ frac {t} {2})^{2n+\ nu {\ gamma (n+\ nu+1) n!}.
=== Явное представление ===
«Нермализованная плотность» распределения Хартман-Уотсона-
: \ vartheta (r, t): = \ frac {r} {(2 \ pi^3 t)^{1/2e^{\ pi^2/2t} \ int_0^{\ infty} e^ {-x^2/2t-r \ cosh (x)} \ sinh (x) \ sin \ left (\ frac {\ pi x} {t} \ right) \ mathrm {d} x < /math>
для r> 0, \; t> 0 < /math>.

Он удовлетворяет уравнению
: \ int_0^\ infty e^{-u^2t/2} \ vartheta (r, t) \ mathrm {d} t = i_ {| u |} (r) \ Quad \ text {für} \ ; \; r> 0.
Плотность распределения Хартман-Уотсон определяется на \ mathbb {r} _+< /math> и задается
: f_r (t) = \ frac {\ vartheta (r, t)} {i_0 (t)} \ Quad \ text {für} \; \; r> 0, \; t \ geq 0
или явно
: f_r (t) = \ frac {r} {(2 \ pi^3 t)^{1/2 \ frac {\ exp \ left (\ pi^2/2t \ right) \ int_0^{\ infty} \ exp \ left (-x^2/2t-r \ cosh (x) \ right) \ sinh (x) \ sin \ left (\ frac {\ pi x} {t} \ right) \ mathrm {d} x} {
\ sum \ limits_ {n = 0}^\ infty 2^{-2n} t^{2n}/(n!)^2} \ Quad для r> 0, \; t \ geq 0 < /math>.

== Соединение с коричнеанскими экспоненциальными функциями ==
Следующий результат YOR (
Let (b_t^{(\ mu)}) {t \ geq 0}: = (b_t+\ mu t) {t \ geq 0} -одномерное коричневое движение с дрейфом \ mu \ in \ r и начинать 0 . Let a^{(\ mu)} = (a^{\ mu} _t) _ {t \ geq 0} < /math> быть следующим Браунским функционалом
: a^{(\ mu)} _ t = \ int_0^t \ exp \ Left (2b_s^{(\ mu)} \ right) \ mathrm {d} s \ Quad \ text {für} \; \; \; ; t \ geq 0 < /math>
Затем распределение (a^{(\ mu)} _ t, b^{(\ mu)} _ t) для t> 0 дано
: p \ Left (a^{(\ mu)} _ t \ in \ mathrm {d} u, b^{(\ mu)} _ t \ in \ mathrm {d} x \ right) = e^{ \ mu x- \ mu^2t/2} \ exp \ left (-\ frac {1+e^{2x {2u} \ right) \ vartheta (e^{x}/u, t) \ frac {1} {u } \ mathrm {d} u \ mathrm {d} x < /math>
где u> 0 und x \ in \ r .
p \ left (x \ in \ mathrm {d} x, y \ in \ mathrm {d} y \ right) является альтернативной нотацией для меры вероятности \ lambda (dx, dy ) < /math>.

Непрерывные распределения

Подробнее: https://en.wikipedia.org/wiki/Hartman%E ... stribution