Хопф - Уитни Теорема ⇐ Васина Википедия

[wiki_en]

В математике, особенно алгебраической топологии и теории гомотопии, «теорема« Хопф -Уитни » - это результат, связанный с классами гомотопии между комплексом CW и множественным пространством с сингулярными классами кохомологии первого с коэффициентами в в Первая нетривиальная гомотопия группа последних. Например, он может быть использован для расчета набора композиции | Когомотопия как сфера | сферы подключены.

== оператор ==
Для n -dimensional CW Complex x и n-1 -connectedcreted y , четко определенные Карта:

:
[X, y] \ rightarrow h^n (x, \ pi_n (y)),
[f] \ mapsto f^*\ iota
< /math>

с определенным классом кохомологии \ iota \ in h^n (y, \ pi_n (y)) < /math> является изоморфизмом.

Теорема Hurewicz утверждает, что четко определенная карта \ pi_n (y) \ rightarrow h_n (y, \ mathbb {z}), [f] \ mapsto f _*[s^n] с фундаментальными Class [s^n] \ in h_n (s^n, \ mathbb {z}) \ cong \ mathbb {z} -изоморфизм, и что h_ {n-1} (y , \ mathbb {z}) \ cong 1 , что подразумевает \ operatorname {ext} _ \ mathbb {z}^1 (h_ {n-1} (y, \ mathbb {z}), \ pi_n (y)) \ cong 1 для фанкора EXT. Теорема универсального коэффициента затем упрощает и претендует:

:
H^n (y, \ pi_n (y))
\ cong \ operatorname {hom} _ \ mathbb {z} (h_n (y, \ mathbb {z}), \ pi_n (y))
\ cong \ operatorname {end} _ \ mathbb {z} (\ pi_n (y)).
< /math>

\ iota \ in h^n (y, \ pi_n (y)) < /math> тогда класс кохомологии, соответствующий карте идентификации | Identity \ operatorname {id}
\ in \ operatorname {end} _ \ mathbb {z} (\ pi_n (y)) < /math>.

В башне Postnikov удаляет группу гомотопии | Группы гомотопии сверху пространство y_n только имеет единственную нетривиальную гомотопическую группу \ pi_n (y_n) \ cong \ pi_n (y) и и и и Следовательно, это эйленберг -маклановое пространство k (\ pi_n (y), n) (вплоть до слабой гомотопической эквивалентности), которая классифицирует единственную кохомологию. В сочетании с канонической картой y \ rightarrow y_n \ simeq k (\ pi_n (y), n) < /math>, карта из теоремы Hopf - Уитни может быть альтернативно выражена как пост -композиция:

:
[X, y] \ rightarrow [x, k (\ pi_n (y), n)] \ cong h^n (x, \ pi_n (y)).
< /math>

== Примеры ==
Для гомотопических групп, наборов кохомотопии или кохомологии, теорема Хопфа -Уитни воспроизводит известные результаты, но слабее:

* Для каждого n-1 -connected Space y есть:

:
[S^n, y]
\ cong h^n (s^n, \ pi_n (y))
\ cong \ pi_n (y).
< /math>
: В целом, это сохраняется для каждого топологического пространства по определению.

* Для n -дивминный комплекс CW x есть:

:
[X, s^n]
\ cong h^n (x, \ pi_n (s^n))
\ cong h^n (x, \ mathbb {z}).
< /math>
: Для n = 1 , это также следует из s^1 \ simeq k (\ mathbb {z}, 1) .

* Для топологической группы g и естественного числа n , Eilenberg- Maclane Space k (g, n) - n- 1 -connected по строительству, следовательно, для каждого n-1 -dimensional cw-complex x есть:

:
[X, k (g, n)]
\ cong h^n \ left (x, \ pi_nk (g, n) \ right)
\ cong h^n (x, g)
< /math>
В общем, это сохраняется для каждого топологического пространства. Теорема Хопфа -Уитни дает более слабый результат, потому что тот факт, что более высокие гомотопические группы пространства Эйленберга -Маклана также исчезают, не входит.

== Литература ==

* *
Алгебраическая топология

Подробнее: https://en.wikipedia.org/wiki/Hopf%E2%8 ... ey_theorem