Проблема Гильберта – Арнольда ⇐ Васина Википедия

[wiki_en]

В математике, особенно в динамических системах, «проблема Гильберта-Арнольда» представляет собой список нерешенных проблем математики | нерешенных проблем, касающихся оценки предельных циклов. Он спрашивает, является ли в общем (математика)|общем семействе конечных параметров гладких функций|гладких векторных полей на сфере с компактным пространством|компактной базой параметров количество предельных циклов равномерно ограничено по всем значениям параметров. Проблема исторически связана с шестнадцатой проблемой Гильберта и была впервые сформулирована русскими|российскими математиками Владимиром Арнольдом и Юлием Ильяшенко в 1980-х годах.Ильяшенко, Ю.А. (1994). «Нормальные формы локальных семейств и нелокальные бифуркации». Астериск, Том. 222, 233–258.

== Фон ==
Проблема возникает при рассмотрении современных подходов к шестнадцатой проблеме Гильберта. В то время как первоначальный вопрос Гильберта был сосредоточен на кольцах полиномов | полиномиальных векторных полях, математическое внимание сместилось на свойства родовых семейств (математика) | семейств внутри определенных классов. В отличие от полиномиальных систем, типичные гладкие системы на сфере могут иметь сколь угодно много гиперболических предельных циклов, сохраняющихся при малых возмущениях (математика) | возмущениях. Однако вопрос о равномерной ограниченности семейств параметров остается значимым и составляет основу проблемы Гильберта–Арнольда.Ильяшенко Ю.; Калошин, В. (1999). «Бифуркации плоских и пространственных полициклов: программа Арнольда и ее развитие». Филдс Инст. Коммун., 24, 241-271.

Благодаря компактности как базы параметров, так и фазового пространства, проблема Гильберта–Арнольда может быть сведена к локальной задаче исследования бифуркаций специального вырождения (математика)|вырожденных векторных полей. Это приводит к концепции полициклов – циклически упорядоченной группы | циклически упорядоченных множеств особых точек, соединенных дугами фазовой кривой – и их цикличности, которая измеряет количество предельных циклов, рожденных в бифуркациях.

=== Локальная задача Гильберта–Арнольда ===
Локальная версия проблемы Гильберта-Арнольда спрашивает, конечна ли максимальная цикличность нетривиальных полициклов в общих семействах с k-параметрами (известная как «число бифуркации» B(k)), и ищет явные верхние границы.Калошин, В. (2001). «Проблема Гильберта-Арнольда и оценки цикличности полициклов на плоскости и в пространстве». Функциональный анализ и его приложения, 35(2), 78-81.
Локальная задача Гильберта–Арнольда решена для k=1 и k=2, с B(1) = 1 и Б(2) = 2. Для k=3 стратегия решения существует, но остается неполной. Более подробно изучена упрощенная версия, учитывающая только элементарные полициклы (где все вершины являются элементарными особыми точками хотя бы с одним ненулевым собственным значением). Ильяшенко и Яковенко доказали в 1995 году, что элементарное бифуркационное число E(k) конечно для всех k>0.Ильяшенко Ю.; Яковенко, С. (1991). «Конечно-гладкие нормальные формы локальных семейств диффеоморфизмов и векторных полей». Российские математические обзоры, 46(1), 3-39.

В 2003 году математик Вадим Калошин установил явную границу E(k) < 25^{k^2}.Калошин, В. (2003). «Экзистенциальная 16-я проблема Гильберта и оценка цикличности элементарных полициклов». Inventiones Mathematicae, 151, 451–512.

==См. также==
*Шестнадцатая проблема Гильберта
*Предельный цикл
*Динамическая система
*Теория бифуркаций

Динамические системы
Теория систем
Нерешенные задачи по математике

Подробнее: https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%E ... ld_problem