Инварианты Арнольда ⇐ Васина Википедия

[wiki_en]

В математике, особенно в топологии и теории узлов, «инварианты Арнольда» — это инварианты, введенные Владимиром Арнольдом в 1994 году Арнольд В.И. (1994). «Топологические инварианты плоских кривых и каустик». Серия университетских лекций, Vol. 5, Американское математическое общество. за изучение топологии и геометрии плоских кривых | плоских кривых. Три основных инварианта — J^+, J^- и St — позволяют классифицировать и понимать, как кривые могут деформироваться, сохраняя при этом определенные свойства.Май, Александр (2022). «Введение в J +-инвариант Арнольда». arXiv:2210.00871.

== Фон ==
Фундаментальный контекст для инвариантов Арнольда исходит из теоремы Уитни-Граустейна, которая утверждает, что любые две погружения (математика) | погруженные петли (гладкие кривые на плоскости) с одинаковым числом вращения могут быть деформированы (математика) | деформированы друг в друга через серия непрерывных функций|непрерывных преобразований (функций)|преобразований.Уитни, Х. (1937). «О правильных замкнутых кривых на плоскости». Compositio Mathematica, 4, 276-284. Эти преобразования можно разбить на три элементарных типа: прямые «движения самокасания» (когда две части кривой соприкасаются с выровненными направлениями, либо создавая, либо устраняя две точки самопересечения), «обратные движения самокасания» (похожие на прямые движения, но направления касательных противоположны) и «движения тройной точки» (когда три части кривой пересекаются в одной точке).Мораес, Симоне (2018). «Инварианты замкнутых плоских кривых». Федеральный университет Баии.

== J^\pm инварианты ==
Инварианты J^+ и J^- отслеживают, как кривые изменяются при этих преобразованиях и деформациях. Инвариант J^+ увеличивается на 2, когда прямое движение самокасания создает новые точки самопересечения (и уменьшается на 2, когда такие точки исключаются), а J^- уменьшается на 2, когда обратный ход самокасания создает новые пересечения (и увеличивается на 2, когда они устраняются). Ни один из инвариантов не меняется при перемещении тройной точки. Фундаментальная связь между этими инвариантами состоит в том, что их разность равна общему числу точек самопересечения на кривой. То есть,
:J^+(c) - J^-(c) = \text{количество точек самопересечения }c.https://ocw.mit .edu/courses/18-900-geometry-and-topology-in-the-plane-spring-2023/mit18_900s23_lec17.pdf

Математики Олег Виро и Евгений Гуткин открыли явную формулу расчета J^-:
:J^-(c) = 1 - \sum_R \text{wind}(c,R)^2 + \sum_q \text{meanwind}(c,q)^2
где R проходит по областям, на которые c делит плоскость, \text{wind}(c,R) — число витков вокруг точка в области R, а \text{meanwind}(c,q) — это среднее число витков в каждой точке самопересечения q. Например, кривая с завитками k в стандартной форме имеет J^+ = -2k и J^- = -3k, а простая круг имеет J^+ = J^- = 0.

==Мосты и каналы==
В 2002 году испанские математики Мендес де Хесус и Ромеро Фустер ввели концепции «мостов и каналов» для плоских кривых, чтобы облегчить расчет инвариантов Арнольда.Мендес де Хесус, К.; Ромеро Фустер, MC (2002). «Мосты, каналы и инварианты Арнольда для общих плоских кривых». Topology and its Applications, 125, 505-524. «Мост» состоит из введения прямоугольника в набор дополнение|дополнение кривой на плоскости при соблюдении ориентации (математика)|ориентаций, разложения (математика )|разложение данной кривой на две меньшие кривые с известными инвариантами. Затем инвариант исходной кривой можно получить как функцию инвариантов этих двух составляющих кривых и индекса моста относительно исходной кривой. Этот метод разложения особенно эффективен для анализа кривых с двойными точками.

Важная теорема, касающаяся этого разложения, гласит, что кривая с n двойными точками является древовидной кривой тогда и только тогда, когда она допускает разложение ровно на n кривых типов K_0 и K_2 с мостами, не имеющими двойных точек, или разложением ровно на n+1 кривые типа K_1 (изотопные круг) с мостами, имеющими двойные точки.Айкарди, Ф. (1994). «Древовидные кривые». В кн.: Особенности и бифуркации. Успехи советской математики, 21, AMS, Providence, 1-36. Этот результат подтвердил гипотезу, первоначально предложенную Арнольдом относительно формул для семейств древовидных кривых. Метод моста и канала обеспечивает систематический метод вычисления инвариантов Арнольда для плоских кривых в терминах более простых кривых не более чем с одной двойной точкой.

==См. также==
* Плоская кривая
* Инвариант узла
* Теорема Уитни–Граустейна
* Дифференциальная топология

==Дальнейшее чтение==
*Санта Роза, Лилиан Невес (2010). «Инварианты Арнольда плоских кривых». Магистерская диссертация, Федеральный университет Висозы.
*Мендес де Хесус, К. «Топологические инварианты общих отображений ориентированных компактных поверхностей на плоскость». Докторская диссертация, PUC-RIO, 2001 г.
*Мораес, Симона М.; Санчес, Катарина М.Дж. «Инварианты замкнутых плоских кривых». «Серия докладов Бразильского общества прикладной и вычислительной математики», Vol. 3, № 1, 2015.

Геометрия
Дифференциальная топология
Теория узлов
Инварианты узлов

Подробнее: https://en.wikipedia.org/wiki/Arnold_invariants