Шестиугольная упаковка круга ⇐ Васина Википедия

[wiki_de]

'''шестиугольник|шестиугольная упаковка кругов''' плоскости заполняет ее непересекающимися кругами, каждый из которых касается ровно шести кругов.

«Спираль Дойла» представляет собой цепочку касательных кругов, центры которых, как и центры заштрихованных кругов на рисунке выше, лежат на логарифмических спиралях, а радиусы образуют геометрическую последовательность.




Шестиугольные круглые упаковки уникальны с точностью до сходства (геометрии)|сходства по двум параметрам p и q
== История ==
Рисунок, показанный на первом рисунке выше, воспроизводит наблюдение, сделанное в 1910 году над Chrysanthemum leucanthemum | Poor Meadow Daisy. Питер Дойл, возможно, был первым, кто сконструировал шестиугольные круглые упаковки. Ласло Фейеш Тот в 1977 году выдвинул гипотезу о том, что в упаковках из шестиугольных кругов отношение радиуса наименьшего круга к наибольшему равно единице (в однородной упаковке на рисунке) или нулю в противном случае. В 1983 году Имре Барани, Золтан Фюреди и Янош Пах доказали. Определение, уникальное с точностью до сходства, по двум целочисленным параметрам, местоположения Круги и их радиусы, а также связь с показательной функцией были показаны в 1994 году Аланом Бердоном | Бердоном, Дубейко и Стивенсоном.

== Определения ==
В статье Бирдона, Дубейко и Стивенсона определены следующие термины, которые также используются в этой статье: * Группа из семи кругов, шесть из которых окружают седьмой внутренний круг, называется «цветком» ( * Шестиугольная упаковка кругов представляет собой набор кругов,
** в котором каждый круг является центром цветка,
** в котором с последовательными листьями B1, B2 и B3 вокруг центра C также B3, C, B1 — листья с центром B2, и
** в котором любые две окружности могут быть соединены конечной цепочкой окружностей, в которой каждая окружность является листом предыдущей.
* Упаковка одинаковых или непересекающихся кругов является «когерентной» ( * Группа из трех кругов, которые попарно касаются друг друга и не проникают друг в друга, представляет собой «ячейку» (соответствует элементарной ячейке в кристаллографии.)
*Клетка или цветок – это порождающая( * В единой упаковке по кругу ( В этой статье однородная круглая упаковка упоминается только на краю и предполагается неравномерная круглая упаковка с радиусами разных размеров.

Повсюду используется плоскость комплексных чисел с мнимой единицей {\rm i}^2=-1, в которой каждая точка X представлена ​​комплексным числом z=x+i y , x,yا. Представлено действительное число|ℝ.

== Расчет пачки ==
Шестиугольная круглая упаковка описывается двумя параметрами p,qεНатуральное число|ℕ, которые удовлетворяют неравенствам
:0 < p ≤ q ≤ 2p, q > 2

и определите количество спиралей Дойла в пакете кругов. Затем имеется шестиугольная упаковка кругов с двумя комплексными числами α и β, так что центры кругов находятся в точках

: z = αj · βk = αj+k · γk для j, k ∈ ℤ , γ := β/α

класть. Спирали Дойла относятся к константе k (красная на картинках), константе j (синяя) и константе (j+k) (желто-зеленая). Комплексные числа α и β определяются из условий
:\frac{|\alpha-1|}{1+|\alpha|}
=\frac{|\beta-1|}{1+|\beta|}
=\frac{|\gamma-1|}{1+|\gamma|}
=\frac{|\alpha\gamma-1|}{1+|\alpha\gamma|},\;|\alpha|>1


и
: p·Комплексный логарифм|log(α) − q·log(β) = мнимая единица|i·2·число окружности|π·n для n ∈ целое|ℤ.

Решения α и β этих уравнений являются алгебраическими числами.
:r=|z|\frac{|\alpha-1|}{1+|\alpha|}

В этих упаковках кругов «нормальной формы | нормализованных» радиус круга пропорционален расстоянию центра круга от начала координат, центр круга находится в точке z = 1, а спирали Дойла сходятся к началу координат в точке z. = когда j и k становятся меньше 0, см. рисунок. Центры листьев лежат на «декартовом овале», который является линией уровня функции
:k(z)=\frac{|z-1|}{|z|+1}

является. Другое сходство (геометрия) | подобные упаковки шестиугольных кругов возникают в результате центрического растяжения, смещения и/или вращения.

В таблице приведены частные случаи, когда известны аналитические решения приведенных выше уравнений.
\tau=&-(1+\sqrt{\Phi_1})+{\rm i}\,(1+\sqrt{\Phi_2}),\;
\Phi_{1,2}=\frac{\sqrt5\mp 1}2
\\
\alpha=&\tau^3,\;\beta=\tau^2
\end{align}
w =& \tan\left(\frac\pi p\right)^2 + \frac1{\cos\left(\frac\pi p\right)}
\\
\alpha=&(w+\sqrt{w^2-1})\exp\left({\rm i}\frac\pi p\right), \beta=\overline{\alpha}
\end{align}
c=&\cos\left(\frac\pi p\right)
\\
w=&\sqrt{\frac{\sqrt{5+4c}-2c-1}2},\;b=\frac{1+w}{c+w^2}
\\
\альфа =&b^2,\; \beta=b\exp\left({\rm i}\frac\pi p\right)
\end{align}

== Характеристики цветов ==
Питер Дойл обнаружил
Для трех последовательных листов с центрами B, C и D и радиусами rB, rC или rD вокруг центра A с радиусом r применяется :
: r·rC = rB·rD

Последовательные листы нумеруются от нуля до пяти. Тогда радиусы совпадают
:r2 = rj·rj+3, r3 = rj·rj+2·rj+4

Здесь, как и далее, если индексы находятся за пределами диапазона от нуля до пяти, остаток следует получить путем деления на шесть. Например, если j+3=7, то выше следует вставить rj+3=r1.

Для каждого листа есть круг, который
* через две точки соприкосновения с соседними листьями и
* через две точки соприкосновения соседних листьев и центрального круга
ведет. Все эти кружочки цветка тоже пересекаются в одной точке.
Если каждый лист k имеет точку контакта zk с центром, а также точки контакта wk с его преемником и wk−1 со своим предшественником, то это становится ключевой фигурой

:s_k=q(z_k, z_{k-1}, w_{k-1}, w_k),\quad
q(a,b,c,d):=\frac{(a-b)\,(c-d)}{(b-c)\,(d-a)}


связаны вместе. Тогда для k=0,…,5:
:\begin{align}
s_k=&-q(z_{k+1},z_{k-1},w_{k-1},z_k)=q(z_k,w_k,z_{k+1},z_{k-1})
\\
s_k^2=&q(z_{k+1},z_{k-1},w_{k-1},w_k)
\\
0=&s_k+s_{k+2}+s_{k+4}+s_ks_{k+1}s_{k+2}
\end{align}

== Свойства спиралей ==

В четырехугольнике ABCD линейные отображения вида f(z)=mf·z+nf и g(z)=mg· z+ng определено так, что
: f(zA)=zB, f(zD)=zC, g(z A)=zD, g(zB)=zC

Эти отображения создают группу (математика)|группу G, элементы которой связаны между собой этими отображениями. Центры окружностей заливки шестиугольного круга являются элементами этой группы. На иллюстрациях одна и та же фиксированная точка (математика)|фиксированная точка

:\mathsf{\zeta:=f(\zeta)=g(\zeta)}
=\frac{z_A\,z_C-z_B\,z_D}{z_A+z_C-z_B-z_D}


что является источником спиралей Дойля, которые, однако, никогда не достигают его: Неподвижная точка не является элементом группы G. Нормализация окружностей и радиусов цветка с помощью

:z_j\mapsto\frac{z_j-\zeta}{z_A-\zeta},\;r_j\mapsto\frac{r_j}{|z_A-\zeta|

: zA=1, zB=α, zC=αγ=β, zD=γ =β/α, zE=1/α, zF=1/(αγ)=1/β и zG=1 /γ=α/β.

: A=1, B=α, C=β, D=β/α, |B−A|=ar+r, |C−A|=br+r, |D−A|=gr+r

Отсюда следует:

: |B−A|=|α−1|=r(1+|α|), |C−A|=|αγ−1|=r(1+|αγ|), |D−A|=| γ−1|=r(1+|γ|)

и поэтому

:{\mathsf r}=\frac{|\alpha-1|}{1+|\alpha|}
=\frac{|\beta-1|}{1+|\beta|}
=\frac{|\alpha\gamma-1|}{1+|\alpha\gamma|}
=\frac{|\gamma-1|}{1+|\gamma|}


Центры z окружностей упаковки имеют вид z=αj·βk с j,kεℤ.
: α−p·βq = 1 = exp(i·2·π·n)

следует. Комплексный логарифм | комплексный логарифм log как обратная функция экспоненциальной функции exp наконец-то дает

: q log(β) − p log(α) = я 2 π n

Это объясняет определяющие уравнения при #расчете упаковки.

== Литература ==


см.

или











Л. Фейеш Тот, Проблема исследования, Periodica Math. 8 (1977), 103-10, цитата из Барани, Фюреди, Паха: «Дискретные выпуклые функции и доказательство гипотезы о шести кругах Л. Фейеша Тота» (1983)





В Beardon, Dubejko, Stephenson (1994), стр. 46f, здесь β соответствует γ.









Категория:Плоская геометрия

Подробнее: https://de.wikipedia.org/wiki/Hexagonale_Kreispackung