Теорема Ламе ⇐ Васина Википедия

[wiki_de]

Теорема Ламе — центральная теорема теории чисел, которая дает верхнюю границу количества шагов, необходимых алгоритму Евклида для вычисления наибольшего общего делителя (НОД) двух чисел. Теорема названа в честь французского математика Эвариста Галуа, но ее результаты были ранее сформулированы и обнародованы Эдуардом Ламе. Теорема представляет особый интерес в теории алгоритмов и сложности и имеет приложения в криптографии, особенно при анализе алгоритмов факторизации больших чисел.
1. Формулировка предложения

Теорема Ламе утверждает, что количество шагов, необходимых алгоритму Евклида для вычисления наибольшего общего делителя (НОД) двух чисел aa и bb, ограничено количеством цифр меньшего числа.

Точнее, если aa и bb — два натуральных числа, то количество шагов алгоритма Евклида для вычисления НОД не более чем пропорционально логарифму меньшего числа.

Математическая формулировка предложения такова:

Пусть a≥b≥1a≥b≥1 и НОД(a,b)НОД(a,b) – наибольший общий делитель чисел aa и bb. Тогда число шагов S(a,b)S(a,b), необходимое алгоритму Евклида для вычисления НОД(a,b)НОД(a,b), равно неравенству
S(a,b)≤5⋅log⁡φ(b)
S(a,b)≤5⋅logφ​(b)

выполнено, где φφ — золотое число, имеющее значение φ=1+52≈1,618φ=21+5

≈1,618. Это неравенство утверждает, что количество шагов в алгоритме Евклида асимптотически ограничено логарифмическим значением меньшего числа.
2. Значение и применение

Теорема Ламе особенно важна для эффективности алгоритма Евклида, поскольку она описывает сложность алгоритма с точки зрения входных значений (числа аа и bb). Поскольку количество шагов алгоритма обычно масштабируется с логарифмическим ростом входных значений, алгоритм Евклида может эффективно выполняться даже с очень большими числами. Это особенно актуально для приложений в теории чисел и криптографии, таких как вычисление обратных модулей или факторизация больших чисел.

В криптографии алгоритм Евклида используется, среди прочего, для шифрования RSA, основанного на вычислении наибольшего общего делителя. Эффективный расчет этого делителя имеет решающее значение для безопасности RSA. Теорема Ламе обеспечивает теоретическую основу скорости и эффективности таких криптографических методов.
3. Историческая справка

Сам алгоритм Евклида был описан еще в древности Евклидом и представляет собой метод вычисления наибольшего общего делителя двух чисел. Алгоритм основан на идее последовательного деления и применении деления с остатком. Теорема Ламе была разработана в XIX веке математиком Эваристом Галуа на основе работ французского математика Эдуарда Ламе, который также первым указал на это. до верхней границы указанного количества шагов.

Точная математическая формулировка теоремы Ламе впоследствии была исследована и уточнена несколькими математиками, при этом современное состояние теории обеспечивает точное описание количества шагов алгоритма по отношению к числам aa и bb.
4. Доказательство теоремы

Доказательство теоремы Ламе основано на наблюдении, что алгоритм Евклида всегда уменьшает одно из двух чисел до меньшего значения, заменяя его остатком от деления двух чисел. Доказательство показывает, что алгоритму требуется ограниченное количество шагов для достижения конечного результата и что это число ограничено логарифмическим ростом чисел.

Что касается точного количества шагов, то получается, что на каждом шаге алгоритм уменьшает хотя бы одно из чисел примерно до половины его первоначального размера, что и объясняет логарифмический рост. Более пристальный анализ показывает, что количество шагов на самом деле ограничено значением 5⋅log⁡φ(b)5⋅logφ​(b), где φφ — золотое число.
5. Дальнейшие расширения и обобщения

На протяжении многих лет разрабатывались различные расширения и обобщения теоремы Ламе. Значительное расширение касается анализа алгоритмов вычисления наибольшего общего делителя в более крупных системах счисления, например, в контексте теории алгебраических чисел или при вычислении обратных алгебраических чисел.

Кроме того, были разработаны более быстрые варианты алгоритма Евклида, которые в некоторых случаях также могут превышать предел теоремы Ламе для реализации более эффективных алгоритмов. Некоторые из этих вариантов основаны на оптимизированных методах, таких как быстрые экспоненциальные вычисления или алгоритм умножения Евклида.

Категория:Теорема (теория чисел)|Хромой

Подробнее: https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Lam%C3%A9