Топологически обогащенная категория ⇐ Васина Википедия

[wiki_de]

Топологически обогащенная категория (часто сокращается до «топологическая категория», хотя это может привести к путанице) находится в математическом подразделе теории категорий, на один выше категории топологических пространств (или альтернативно, из-за своих лучших свойств, категория компактно порожденных хаусдорфовых пространств) обогатила категорию. В теории высших категорий их можно использовать как возможное моделирование бесконечных категорий|∞-категорий. Другие возможности включают Симплициальное множество | Симплициальные множества, Симплициальную расширенную категорию | Симплициальные расширенные категории, пространства Сигала и категории Сигала.

== Определение ==
Топологическая категория \mathcal{C} — это локально малая категория|локально малая категория, обогащенная выше категории \mathbf{Top топологического пространства|топологических пространств, так что упрощает для всех объектов X,Y\in\operatorname{Ob}\mathcal{C} Hom устанавливает \operatorname{Hom}_\mathcal{C}(X,Y) являются топологическими пространствами (т. е. лежат в \operatorname{Ob}\mathbf{Top}), а морфизмы, индуцированные композицией в них, непрерывны (т. е. в \operatorname{Ar}\ mathbf{Top). Категория топологических категорий (больше не локально маленькая) обозначается как \mathbf{Cat}_\mathbf{Top}.''Высшая теория топоса'', определение 1.1.1.3.< /ссылка>

== Примеры ==
* \mathbf{Top} сама по себе является топологически обогащенной категорией. Их внутренний функтор Hom для топологических пространств X,Y\in\operatorname{Ob}\mathbf{Top} задается компактной открытой топологией:
*: \mathbf{Hom}_{\mathbf{Top(Y,Z)
:=C_\mathrm{co}(Y,Z).

== Подключение к упрощенным расширенным категориям ==

: \forall X,Y\in\operatorname{Ob}\mathcal{C}\colon
\operatorname{Hom}_{|\mathcal{C}|}(X,Y)
:=|\operatorname{Hom}_{\mathcal{C(X,Y)|.

Таким образом, топологически обогащенная категория \mathcal {C} создает упрощенно обогащенную категорию \operatorname{Sing}(\mathcal {C}) с помощью:

: \forall X,Y\in\operatorname{Ob}\mathcal{C}\colon
\operatorname{Hom}_{\operatorname{Sing}(\mathcal{C})}(X,Y)
:=\operatorname{Sing}(\operatorname{Hom}_{\mathcal{C(X,Y)).

== Гомотопическая категория топологически обогащенной категории ==
Гомотопическая категория|гомотопическая категория топологически обогащенной категории \mathcal{C} — это категория \operatorname{Ho}(\mathcal{C}) с: «Теория высшего топоса», определение 1.1.3.2.

: \operatorname{Ob}\operatorname{Ho}(\mathcal{C})
=\operatorname{Ob}\mathcal{C}
: \forall X,Y\in\operatorname{Ob}\operatorname{Ho}(\mathcal{C})=\operatorname{Ob}\mathcal{C}\colon
\operatorname{Hom}_{\operatorname{Ho}(\mathcal{C})}(X,Y)
=\pi_0\operatorname{Hom}_{\mathcal{C(X,Y)
\cong\pi_0\operatorname{Sing}(\operatorname{Hom}_{\mathcal{C(X,Y))

Здесь \pi_0\colon\mathbf{Top}\rightarrow\mathbf{Set} — компоненты соединения путей топологического пространства, а \pi_0\colon\mathbf{sSet}\rightarrow\mathbf { Установите связные компоненты симплициального набора,''Высшие категории и гомотопическая алгебра'', 3.1.30. где \pi_0=\ pi_0\circ \operatorname{Sing}.Керодон, [https://kerodon.net/tag/00GZ Примечание 1.2.2.5]

Вместе с Симплициально обогащенной категорией#Гомотопической категорией упрощенно обогащенной категории|Гомотопической категорией симплициально обогащенной категории эта операция совместима с приведенными выше преобразованиями топологически и упрощенно обогащенных категорий друг в друга: Для топологически обогащенной категории \ mathcal {C}, поэтому существует канонический изоморфизм \operatorname{Ho}(\mathcal{C})
\cong\operatorname{Ho}(\operatorname{Sing}(\mathcal{C})) и для упрощенно обогащенной категории \mathcal{C} существует канонический изоморфизм < math >\operatorname{Ho}(\mathcal{C})
\cong\operatorname{Ho}(|\mathcal{C}|).

== Литература ==

* *

* nlab:topologically+enriched+category|топологически обогащенная категория на 𝑛Lab|nLab (английский язык|английский)
* Джейкоб Лурье, [https://kerodon.net/ Kerodon] (добавлен контент из «Высшей теории топоса»)



Категория:Теория категорий

Подробнее: https://de.wikipedia.org/wiki/Topologis ... _Kategorie