Неверный номер ⇐ Васина Википедия

[wiki_de]

В теории чисел злое число — это неотрицательное целое число, имеющее четное количество единиц в двоичной системе.Нил Слоан: [https://oeis.org/A001969 Последовательность A001969: Злые числа: неотрицательные целые числа с четным числом единиц в их двоичном представлении] в Интернет-энциклопедии целочисленных последовательностей Неотрицательные целые числа, которые не являются злыми, называются «одиозными числами».

Математик Джон Хортон Конвей | Джон Конвей написал в своей книге 1982 года «Пути победы в математических играх» 20Mathematical%20Plays%20V1.pdf Пути победы в математических играх, том 1, стр. 110] (PDF) Названия установлены на основе игры слов. «Злые числа» имеют «четные», т.е. четное количество единиц, «одиозные числа» имеют «нечетное», т.е. нечетное количество единиц.

== Примеры ==
* Бинарное представление (т.е. представление в двойственной системе) k=23:
:: 23=16+0+4+2+1=1 \cdot 2^4+0 \cdot 2^3+1 \cdot 2^2+1 \cdot 2^1+1 \cdot 2^ 0 = (10111)_2
: Это двоичное представление состоит из 4 единиц. 4 — четное число, поэтому k=23 — злое число.

* Двоичное представление k=25:
:: 25=16+8+0+0+1=1 \cdot 2^4+1 \cdot 2^3+0 \cdot 2^2+0 \cdot 2^1+1 \cdot 2^ 0 = (11001)_2
: Это двоичное представление состоит из 3 единиц. 3 — нечетное число, и поэтому k=25 — не злое, а отвратительное число.

* Первые злые числа меньше 100:
:: 0, 3, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 17, 18, 20, 23, 24, 27, 29, 30, 33, 34, 36, 39, 40, 43, 45, 46, 48, 51, 53, 54, 57, 58, 60, 63, 65, 66, 68, 71, 72, 75, 77, 78, 80, 83, 85, 86, 89, 90, 92, 95, 96, 99, … (
== Свойства ==
* Пусть d>2. Тогда применимы следующие два утверждения:[https://www.numbersaplenty.com/set/evil_number/ злые числа] на ''Numbers Aplenty''
:* Злых и отвратительных чисел равное количество, каждое из которых имеет d цифр в двойной системе.
:* Множество злых чисел с d цифрами в дуальной системе и множество отвратительных чисел с d цифрами в дуальной системе имеют одну и ту же сумму, а именно
::: 3 \cdot 2^{2d-4}-2^{d-3}
:::: ''Пример:''
::::: Пусть d=5.
::::: Тогда существует ровно 8 злых чисел, двоичное представление которых состоит только из 5 цифр, а именно:
:::::: '''17'''=(10001)2, '''18'''=(10010)2, '''20 '''=(10100)2, '''23'''=(10111)2, '''24'''=(11000) 2, '''27'''=(11011)2, '''29'''=(11101)2 и '''30 '''=(11110)2
::::: Кроме того, существует ровно 8 отвратительных чисел, двоичное представление которых состоит всего из 5 цифр, а именно:
:::::: '''16'''=(10000)2, '''19'''=(10011)2, '''21 '''=(10101)2, '''22'''=(10110)2, '''25'''=(11001) 2, '''26'''=(11010)2, '''28'''=(11100)2 и '''31 '''=(11111)2
::::: Очевидно, существует равное количество злых и мерзких чисел, двоичное представление которых имеет только 5 цифр, а именно 8, как того требует первое утверждение приведенного выше предложения.
::::: Кроме того, 3 \cdot 2^{2d-4}-2^{d-3}=3 \cdot 2^{2 \cdot 5-4}-2^{5-3} =3 \cdot 2^6-2^2=3 \cdot {64}-4=192-4=188.
::::: Фактически, это сумма 8 злых чисел, двоичное представление которых состоит всего из 5 цифр:
:::::: 17+18+20+23+24+27+29+30=188
::::: К сумме 8 отвратительных чисел, двоичное представление которых имеет только 5 цифр, применимо следующее:
:::::: 16+19+21+22+25+26+28+31=188
::::: Сумма равна указанной в предложении выше.

* Пусть '''Сложение Нима''', \oplus, определяется следующим образом:
:: Для каждой пары целых неотрицательных чисел a,b \in \mathbb N применяется следующее: (a)_{10} \oplus (b)_{10} = (a)_2+ (b)_2 с 0+0=0, 0+1=1+0, 1+1=0 (в последнем случае, однако, без перевода на следующую более высокую должность).
: Тогда применяется следующее:
:: Зловещие и отвратительные числа ведут себя при «сложении Нима», \oplus, как четные и нечетные числа при «нормальном» сложении. Итак, применимо следующее:
:::* зло \oplus зло = зло
:::* отвратительно \oplus отвратительно = зло
:::* зло \oplus отвратительно = отвратительно \oplus зло = отвратительно
::::: ''Пример 1:''
:::::: Выше было показано, что 23=(10111)_2 — злое число, и 51=(110011)_2 — тоже злое число: < бр /> ::::::: 23_{10} \oplus 51_{10} = (10111)_2 + (110011)_2 = (100100)_2
:::::: В результате четное число единиц, поэтому это злое число.
::::: ''Пример 2:''
:::::: Выше было показано, что 25=(11001)_2 — ужасное число, и более того, 52=(110100)_2 — тоже ужасное число:
::::::: 25_{10} \oplus 52_{10} = (11001)_2 + (110100)_2 = (101101)_2
:::::: В результате четное число единиц, поэтому это злое число.
::::: ''Пример 3:''
:::::: Выше было показано, что 51 — злое число, а 52 — ужасное число:
::::::: 51_{10} \oplus 52_{10} = (110011)_2 + (110100)_2 = (000111)_2
:::::: В результате нечетное количество единиц, поэтому это ужасное число.

* Существуют магические квадраты, состоящие только из злых чисел. Магический квадрат с наименьшими злыми числами выглядит следующим образом:

* Если вы опустите последнюю цифру (т. е. последний бит) двоичного представления злых чисел, вы получите набор натуральных чисел, т. е. 0, 1, 2, 3, ...

* Злые числа указывают позиции нулевых значений в последовательности Туэ-Морса и поэтому также называются «набором Туэ-Морса».
::''Пример:''
::: Последовательность Морса:
:::: 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, … ( ::: На самом деле, если начать отсчет с 0, то в этой последовательности в 0-й, 3-й, 5-й, 6-й, 9-й, 10-й и т. д. цифрах будет ноль. Плохие числа обозначают места, где в азбуке Морзе стоит ноль.

* Известны числа, равные сумме своих злых делителей. Это:Нил Слоан: [https://oeis.org/A230587 Последовательность A230587: число n такое, что сумма его собственных злых делителей (A001969) равна n.], в Интернете Энциклопедия целочисленных последовательностей
:: 18, 476, 1484, 1988, 2324, 3164, 4172, 4564, 5516, 7196, 7364, 7532, 8036, 8876, 9716, 9772, 10052, 10444, 10892, 12572, 1 3076, 13412, 14084, 16604, 16772, 18004, 19866, 20692, 21328, 21364, 21644, 22316, 22988, 23492, 23884, 23996, 24164, 24668, 24836, … ( : Приведенные выше цифры можно было бы назвать «злыми совершенными числами».
::: ''Пример:''
:::: Двоичное представление злого числа n=18:
::::: n=18=16+0+0+2+0=1 \cdot 2^4 + 0 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 =(10010)_2
:::: Число n=18 имеет следующие делители: d_1=1=(1)_2, d_2=2=(10)_2, d_3=3=(11)_2 , d_4=6=(110)_2, d_5=9=(1001)_2. Делители 3, 6 и 9 имеют четное число единиц в двоичном представлении, поэтому они являются злыми числами, и применяется следующее: < math>3 +6+9=18. Таким образом, 18 — это сумма злых делителей.

* Множество неотрицательных целых чисел однозначно можно разделить на множество злых чисел и множество подлых чисел. Они имеют равные мультимножества парных сумм.

* Деление чисел от 0 до 2^k-1 для всех натуральных чисел k \in \mathbb N на злые и подлые числа предлагает решение проблемы Пруэ-Тэрри-Эскотта о поиске наборов чисел, суммы степеней которых равны до k-й степени.
:: Это утверждение было доказано французским математиком Эженом Пруэ в XIX веке.

* В информатике злые числа имеют бит четности|четность.

== Литература ==
*

* * [https://www.numbersaplenty.com/set/evil_number/ злые числа] в «Numbers Aplenty»



Категория:Набор целых чисел
Категория:Теория чисел