Теория Кармана – Мура ⇐ Васина Википедия

[wiki_en]

'''Теория Кармана-Мура''' — это линеаризованная теория сверхзвуковых обтеканий тонкого тела, названная в честь Теодора фон Кармана и Нортона Б. Мура, разработавших эту теорию в 1932 году.Вон Карман, Т. ., & Мур, Н.Б. (1932). Сопротивление тонких тел, движущихся со сверхзвуковой скоростью, особенно снарядов. Труды Американского общества инженеров-механиков, 54 (2), 303–310.Ward, GN (1949). Сверхзвуковой поток обтекает тонкие заостренные тела. The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics, 2(1), 75-97. В частности, теория дает явную формулу волнового сопротивления, которая преобразует кинетическую энергию движущегося тела в исходящие звуковые волны позади него. тело.
==Математическое описание==
Представьте себе стройное тело с заостренными краями спереди и сзади. Сверхзвуковой поток мимо этого тела будет везде почти параллелен оси x, поскольку образующиеся ударные волны (одна на передней кромке и одна на задней кромке) будут слабыми; как следствие, поток везде будет потенциальным, что можно описать с помощью потенциала скорости \phi' = xv_1 + \phi, где v_1 — входящая равномерная скорость и \phi характеризует небольшое отклонение от равномерного потока. В линеаризованной теории \phi удовлетворяет

:\frac{\partial^2\phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2\phi}{\partial z^2} - \beta^2 \frac{\partial^ 2\phi}{\partial x^2} =0,

где \beta^2=(v_1^2-c_1^2)/c_1^2=M_1^2-1, c_1 — скорость звука во входящем потоке и M_1 — число Маха набегающего потока. Это просто двумерное волновое уравнение, а \phi — возмущение, распространяющееся с кажущимся временем x/v_1 и с кажущейся скоростью v_1/\beta< /математика>.

Пусть начало координат (x,y,z)=(0,0,0) находится на переднем конце заостренного тела. Далее, пусть S(x) — площадь поперечного сечения (перпендикулярно оси x), а l — длина тонкой тело, так что S(x)=0 для x1. Конечно, в сверхзвуковых потоках возмущения (т.е. \phi) могут распространяться только в область за волной Маха|конусом Маха. Слабый конус Маха для передней кромки определяется выражением x-\beta r=0, тогда как слабый конус Маха для задней кромки определяется выражением x-\beta r = l< /math>, где r^2=y^2+z^2 — квадрат радиального расстояния от оси x.

Возмущение вдали от тела похоже на распространение цилиндрической волны. Перед конусом x-\beta r=0 решение просто определяется как \phi=0. Между конусами x-\beta r = 0 и x-\beta r = l решение дает Ландау, Л.Д., и Лифшиц, Э.М. (2013). Механика жидкости: Ландау и Лифшиц: Курс теоретической физики, Том 6 (Том 6). Эльзевир. раздел 123. страницы 123-124

:\phi(x,r) = - \frac{v_1}{2\pi}\int_0^{x-\beta r} \frac{S'(\xi)d\xi}{\sqrt{ (x-\xi)^2-\beta^2r^2

тогда как за конусом x-\beta r = l решение дается

:\phi(x,r) = - \frac{v_1}{2\pi}\int_0^{l} \frac{S'(\xi)d\xi}{\sqrt{(x-\ xi)^2-\beta^2r^2.

Описанное выше решение является точным для всех r, когда тонкое тело является твердым телом или вращением. Если это не так, то решение, справедливое на больших расстояниях, будет иметь поправку, связанную с нелинейным искажением профиля ударной волны, сила которого пропорциональна (M_1-1)^{1/8}r^ {-3/4 и fcator в зависимости от функции формы S(x).Whitham, GB (2011). Линейные и нелинейные волны. Джон Уайли и сыновья. страницы 335-336.

Сопротивление (физика)|сила сопротивления F — это просто x-компонент импульса за единицу времени. Чтобы вычислить это, рассмотрим цилиндрическую поверхность с большим радиусом и осью, расположенной вдоль оси x. Плотность потока импульса, пересекающего эту поверхность, просто определяется выражением \Pi_{xr}=\rho v_r (v_1+v_x)\approx \rho_1 (\partial\phi/\partial r)(v_1+\partial\phi/ \частичный х). Интегрирование \Pi_{xr} по цилиндрической поверхности дает силу сопротивления. Из-за симметрии первый член в \Pi_{xr при интегрировании дает ноль, поскольку чистый поток массы \rho v_r равен нулю на рассматриваемой цилиндрической поверхности. Второе слагаемое дает ненулевой вклад,

:F = -2\pi r \rho_1 \int_{-\infty}^\infty \frac{\partial \phi}{\partial r}\frac{\partial\phi}{\partial x} dx .

На больших расстояниях значения x-\xi \sim \beta r (волновая область) являются наиболее важными в решении для \phi; это связано с тем, что, как упоминалось ранее, \phi представляет собой подобное возмущение, распространяющееся со скоростью v_1/\beta с кажущимся временем x/v_1 . Это означает, что мы можем аппроксимировать выражение в знаменателе как (x-\xi)^2-\beta^2r^2\approx 2\beta r (x-\xi-\beta r). Тогда можно написать, например,

:\phi(x,r) = - \frac{v_1}{2\pi\sqrt{2\beta r\int_0^{x-\beta r} \frac{S'(\xi)d\ xi}{\sqrt{x-\xi-\beta r = - \frac{v_1}{2\pi\sqrt{2\beta r\int_0^{\infty} \frac{S'(x-\beta r-s )ds}{\sqrt{s, \quad s=x-\xi-\beta r, \,\,r\gg 1.

Из этого выражения мы можем вычислить \partial\phi/\partial r, что также равно -\beta\partial\phi/\partial x, поскольку мы находимся в Волновая область. Коэффициент 1/\sqrt r, стоящий перед интегралом, не нужно дифференцировать, поскольку это приводит к небольшой поправке, пропорциональной 1/r. Проведя дифференцирование и вернувшись к исходным переменным, найдем

:\frac{\partial \phi}{\partial r} = -\beta \frac{\partial \phi}{\partial x}= \frac{v_1}{2\pi}\sqrt{\frac {\beta}{2r\int_0^{x-\beta r} \frac{S''(\xi)d\xi}{\sqrt{x-\xi-\beta r.

Подставив это в формулу силы сопротивления, мы получим

:F = \frac{\rho_1 v_1^2}{4\pi} \int_{-\infty}^\infty \int_0^X \int_0^X \frac{S''(\xi_1)S' '(\xi_2) d\xi_1d\xi_2dX}{\sqrt{(X-\xi_1)(X-\xi_2), \quad X=x-\beta r.

Это можно упростить, выполнив интеграцию по X. При изменении порядка интегрирования предел для X варьируется от \mathrm{max}(\xi_1,\xi_2) до L\to\infty< /математика>. После интеграции мы имеем

:F = - \frac{\rho_1 v_1^2}{2\pi} \int_0^l \int_0^{\xi_2} S''(\xi_1)S''(\xi_2)[\ln( \xi_2-\xi_1)-\ln 4L]d\xi_1d\xi_2.

Интеграл, содержащий термин L, равен нулю, поскольку S'(0)=S'(l)=0 (конечно, в дополнение к S(0) =S(l)=0).

Окончательную формулу силы волнового сопротивления можно записать в виде

:F = - \frac{\rho_1 v_1^2}{2\pi} \int_0^l \int_0^{\xi_2} S''(\xi_1)S''(\xi_2)\ln(\ xi_2-\xi_1)d\xi_1d\xi_2,

или

:F = - \frac{\rho_1 v_1^2}{2\pi} \int_0^l \int_0^{l} S''(\xi_1)S''(\xi_2)\ln|\xi_2 -\xi_1|d\xi_1d\xi_2.

Тогда коэффициент лобового сопротивления определяется выражением

:C_d = \frac{F}{\rho_1^2 v_1^2 l^2/2}.

Поскольку F\sim \rho_1 v_1^2 S^2/l^2, который следует из формулы, заданной формулой, C_d \sim S^2/l^4, указывающей что коэффициент лобового сопротивления пропорционален квадрату площади поперечного сечения и обратно пропорционален четвертой степени длины кузова.

Форму с наименьшим волновым сопротивлением для заданного объема V и длины l можно получить из формулы силы волнового сопротивления. Эта форма известна как тело Сирса-Хаака.Хаак, В. (1941). Geschossformen kleinsten wellenwiderstandes. Bericht der Lilienthal-Gesellschaft, 136(1), 14–28.Sears, WR (1947). На снарядах минимального волнового сопротивления. Ежеквартальный журнал прикладной математики, 4 (4), 361–366.

Гидродинамика

Подробнее: https://en.wikipedia.org/wiki/K%C3%A1rm ... ore_theory