4D N = 1 глобальная суперсимметрия ⇐ Васина Википедия

[wiki_en]

В суперсимметрии «глобальная суперсимметрия 4D N=1» — это теория глобальной суперсимметрии в четырех измерениях с одним суперзарядом. Он состоит из произвольного числа киральных и векторных супермультиплетов, возможные взаимодействия которых сильно ограничены суперсимметрией, при этом теория в основном фиксируется тремя функциями: потенциалом Кэлера, суперпотенциалом и калибровочной кинетической матрицей. Многие распространенные модели суперсимметрии являются частными случаями этой общей теории, такие как модель Весса-Зумино, N = 1 суперсимметричная теория Янга-Миллса | N = 1 супертеория Янга-Миллса или минимальная суперсимметричная стандартная модель.

== Фон ==

Глобальная \mathcal N=1 суперсимметрия имеет пространственно-временную симметрию (физику) | алгебру симметрии над алгеброй поля |, заданную супер-алгеброй Пуанкаре с одним суперзарядом. В четырех измерениях этот суперзаряд может быть выражен либо как пара уравнений Вейля | спиноры Вейля, либо как одно уравнение Майораны | спинор Майораны. Содержание частиц этой теории должно принадлежать представлениям супер-алгебры Пуанкаре, известным как супермультиплеты.
В четырех измерениях общая теория имеет произвольное количество киральных мультиплетов (\phi^n,\chi^n), индексированных n, а также произвольное количество калибровочных мультиплеты (A^I_\mu, \lambda^I), индексированные I. Здесь \phi^n — комплексные скалярные поля, A^I_\mu — калибровочные поля, а \chi^n и \ лямбда^I — спиноры Майораны, известные как хиралини и гаугини соответственно. Суперсимметрия накладывает строгие условия на то, как супермультиплеты могут комбинироваться в теории. В частности, большая часть структуры фиксируется тремя произвольными функциями комплексных скалярных полей.
=== Геометрия скалярного многообразия ===

Комплексные скалярные поля в киральных супермультиплетах n_c можно рассматривать как систему координат|координаты 2n_c-мерного многообразия, известного как скалярное многообразие. Это многообразие можно параметризовать с использованием комплексных координат (\phi^n, \phi^{\bar n}), где индекс с перемычкой представляет собой комплексно-сопряженное число \phi^{\bar n} = (\phi^n)^*. Суперсимметрия гарантирует, что многообразие обязательно является комплексным многообразием, которое представляет собой тип многообразия, который локально выглядит как \mathbb C^{n_c} и чьи атлас (топология)|переходные функции голоморфны.
Скалярное многообразие также допускает метрический тензор (общая теория относительности) | метрику, совместимую с его комплексной структурой, причем такое многообразие тогда известно как эрмитово многообразие.
:
ds^2 = g_{м\бар n}(d\phi^m \otimes d\phi^{\bar n} + d\phi^{\bar n}\otimes d\phi^m).


Свойства киральности, унаследованные от суперсимметрии, также подразумевают, что любая замкнутая петля (топология)|петля вокруг скалярного многообразия должна поддерживать расщепление между \phi^n и \phi^{\bar n} .
:
J = i g_{m\bar n} d\phi^m \wedge d\phi^{\bar n}


такой, что dJ = 0.
:
g_{м\бар n} = \partial_m \partial_{\bar n} K,


где эта функция инвариантна с точностью до добавления вещественной части произвольной голоморфной функции
:
K(\phi, \bar \phi) \rightarrow K(\phi, \bar \phi) + h(\phi) + h^*(\bar \phi).


Такие преобразования известны как преобразования Калера, и поскольку они не влияют на геометрию скалярного многообразия, любое суперсимметричное действие (физика)|действие должно быть инвариантным относительно этих преобразований.

=== Соединение кирального и калибровочного секторов ===

Калибровочная группа (математика) | Калибровочная группа общей суперсимметричной теории сильно ограничена взаимодействиями теории. Одно ключевое условие возникает, когда киральные мультиплеты заряжаются под калибровочной группой, и в этом случае калибровочное преобразование должно быть таким, чтобы геометрия скалярного многообразия оставалась неизменной. Точнее, они оставляют скалярную метрику, а также сложную структуру неизменными. Первое условие означает, что калибровочная симметрия принадлежит группе изометрий скалярного многообразия, а второе еще больше ограничивает их голоморфными симметриями Киллинга. Следовательно, калибровочная группа должна быть подгруппой этой группы симметрии, хотя дополнительные условия согласованности могут еще больше ограничить возможные калибровочные группы.

Генератор (математика)|генераторы группы изометрий известны как векторы Киллинга, причем это векторы, сохраняющие метрику, условие, математически выражаемое уравнением Киллинга \mathcal L_{\xi_I}g = 0, где \mathcal L_{\xi_I} — производные Ли для соответствующего вектора. Алгебра изометрий тогда является алгеброй этих векторов Киллинга

:
[\xi_I, \xi_J] = f_{IJ}{}^K \xi_K,


где f_{IJ}{}^K — структурные константы. Не все из этих векторов Киллинга обязательно можно измерить. Скорее, структура Кэлера скалярных многообразий также требует сохранения комплексной структуры \mathcal L_{\xi_I}J = 0, при этом векторы Киллинга также должны быть голоморфными функциями \ xi_I^{\bar n}(\bar\phi) = (\xi_I^n(\phi))^*.
Следствием \mathcal L_{\xi_I} J = 0 является то, что существует набор вещественных голоморфных функций, известных как препотенциалы Киллинга \mathcal P_I, которые удовлетворяют i_ {\xi_I} J = d \mathcal P_I, где i_{\xi_I} — внутреннее произведение. Препотенциалы Киллинга полностью фиксируют голоморфные векторы Киллинга
:
\xi^m_I = -ig^{m\bar n}\partial_{\bar n}\mathcal P_I.


И наоборот, если известны голоморфные векторы Киллинга, то препотенциал можно явно записать через потенциал Кэлера как


\mathcal P_J = \frac{i}{2}[\xi^m_I \partial_m K - \xi_I^{\bar n}\partial_{\bar n}K - (r_I-r_I^*)].


Голоморфные функции r_I(\phi) описывают, как изменяется потенциал Кэлера при преобразованиях изометрии \delta_I K \equiv r_I+r_I^*, позволяя вычислять их с точностью до добавление мнимой константы.

Ключевым условием согласованности препотенциалов является то, что они должны удовлетворять условию эквивалентности
:
\xi_I^mg_{м\бар n}\xi_J^{\bar n} - \xi_J^mg_{m\bar n}\xi_I^{\bar n} = if_{IJ}{}^K \mathcal P_K.


Для неабелевой группы|неабелевых симметрий это условие фиксирует мнимые константы, связанные с голоморфными функциями r_I -r_I^* = -i\eta_I, известные как члены Файе-Илиопулоса. Для абелевых подалгебр калибровочной алгебры члены Файе-Илиопулоса остаются незафиксированными, поскольку они имеют нулевые структурные константы.

==Примечания==

Суперсимметричная квантовая теория поля

Подробнее: https://en.wikipedia.org/wiki/4D_N_%3D_ ... ersymmetry