Массовый расход впрыска ⇐ Васина Википедия

[wiki_en]

'''Массовый поток впрыска''' относится к невязкому потоку|невязкому, адиабатическому процессу|адиабатическому потоку через канал постоянной площади, где учитывается эффект добавления массы. Для этой модели площадь воздуховода остается постоянной, предполагается, что поток представляет собой динамику жидкости#Устойчивый против нестационарного потока|стационарный и одномерный, а масса внутри воздуховода добавляется. Поскольку поток является адиабатическим, в отличие от потока Рэлея, температура торможения является постоянной. Сжимаемый поток | Часто учитываются эффекты сжимаемости, хотя эта модель потока также применима и к несжимаемому потоку.

Для сверхзвукового потока (число Маха вверх по потоку больше 1) замедление происходит с добавлением массы в воздуховод, и поток может стать дросселирующим потоком|заглушенным. И наоборот, при скорости звука | дозвуковом потоке (число Маха против потока меньше 1) происходит ускорение, и поток может задохнуться при достаточном добавлении массы. Следовательно, добавление массы приведет к тому, что как сверхзвуковые, так и дозвуковые числа Маха будут приближаться к 1 Маха, что приведет к дросселированию потока.

==Теория==
Одномерная модель потока с впрыском массы начинается с соотношения массы и скорости, полученного для впрыска массы в устойчивый, адиабатический, без трения, поток постоянной площади идеального газа | калорически идеального газа:

\ \frac{dm}{m}=-\frac{du}{u}\left(M^2-1\right)

где m представляет поток массы, m=\dot{m}/A. Это выражение описывает, как будет меняться скорость при изменении массового потока (т.е. как изменение массового потока dm приводит к изменению скорости du). Из этого отношения видны два различных режима поведения:

# Когда поток является «дозвуковым» (M1), величина [M^2 - 1] положительна, поэтому правая часть уравнение становится отрицательным. Это указывает на то, что увеличение потока массы будет «уменьшать» скорость сверхзвукового потока до 1 Маха.

Из соотношения масса-скорость можно вывести явное соотношение масса-Мах:

\frac{dm}{m} = \frac{1-M^2}{M+\frac{1}{2}M^3(\gamma - 1)}dM

==Производные==
Хотя потоки Фанно и поток Рэлея подробно описаны во многих учебниках, поток впрыска массы — нет.
===Отношение массы к скорости===

Начнем с установления связи между дифференциальной энтальпией, давлением и плотностью калорически совершенного газа:

\begin{align}
h &= c_p T\\
h &= c_p \left(\frac{pv}{R} \right)\\
dh &= \frac{c_p}{R} d(pdv+vdp)\\
\frac{dh}{h} &= \left(\frac{\cancel{R{\cancel{c_p} pv}\right) \cancel{\frac{c_p}{R (pdv+vdp)\\
\frac{dh}{h} &= \frac{dp}{p}+\frac{dv}{v}\\
\frac{dh}{h} &= \frac{dp}{p}-\frac{d\rho}{\rho}\\
\end{align}
|
Из уравнения энтальпии застоя|адиабатической энергии (dh_0=0) мы находим:

\begin{align}
h+\frac{u^2}{2} &= h_0\\
dh+\frac{1}{2}d(uu) &= \cancel{dh_0}\\
dh+\frac{1}{2}(udu+udu) &= 0\\
dh+udu &= 0\\
\frac{dh}{h}+\frac{udu}{h} &= 0
\end{align}
|
Подставив соотношение энтальпия-давление-плотность (
\begin{align}
\frac{dp}{p} - \frac{d\rho}{\rho} + \frac{udu}{h} &= 0
\end{align}
|
Далее мы находим связь между дифференциальной плотностью, потоком массы (m=\dot{m}/A) и скоростью:

\begin{align}
\dot{m} &= \rho u A\\
м &= \rho u\\
\rho &= \frac{m}{u}\\
d\rho &= \frac{udm-mdu}{u^2}\\
\frac{d\rho}{\rho} &= \frac{dm}{m} - \frac{du}{u}
\end{align}
|
Подставив соотношение плотность-массовая скорость (
\begin{align}
\frac{dp}{p} - \frac{dm}{m} + \frac{du}{u} + \frac{udu}{h} &= 0
\end{align}
|
Подставив одномерное уравнение сохранения импульса установившегося потока (см. также уравнения Эйлера (гидродинамика) | уравнения Эйлера) в форме dp=-\rho udu
\begin{align}
0 &= \frac{-\rho udu}{p} - \frac{dm}{m} + \frac{du}{u} + \frac{udu}{h}\\
\frac{dm}{m} &= \frac{-\rho udu}{p} + \frac{du}{u} + \frac{udu}{h}\\
&= \frac{du}{u}\left(\frac{-\rho u^2}{p} + \frac{u^2}{h} + 1\right)\\
\frac{dm}{m} &= \frac{du}{u}\left[\left(\frac{1}{h}-\frac{\rho}{p}\right) u^2 +1 \справа]
\end{align}
|
Из закона идеального газа находим:

и из определения калорически совершенного газа находим,

Замена выражений (
\begin{align}
\frac{dm}{m} &= \frac{du}{u}\left[\left(\frac{\gamma -1}{\gamma RT}-\frac{1}{RT}\right) u ^2 +1\вправо]\\
\frac{dm}{m} &= \frac{du}{u}\left[\left(\frac{-1}{\gamma RT}\right) u^2 +1 \right]
\end{align}
|
Используя Скорость звука#Details|скорость звука в идеальном газе (a^2=\gamma RT) и определение числа Маха (M = u / a) дает

\begin{align}
\frac{dm}{m} &= \frac{du}{u}\left[\left(\frac{-u^2}{a^2}\right) +1 \right]
\end{align}
|

Это соотношение массы и скорости для впрыска массы в устойчивый, адиабатический, без трения, поток с постоянной площадью калорически совершенного газа.

===Отношение массы к Маха===

Чтобы найти связь между дифференциальной массой и числом Маха, мы найдем выражение для du/u исключительно через число Маха, M. Затем мы можем подставить это выражение в соотношение масса-скорость, чтобы получить соотношение масса-Мах. Начнем с того, что соотнесем дифференциальную скорость, число Маха и скорость звука:

\begin{align}
u &= Ма\\
ду &= а дМ + Мда
\end{align}
|
Теперь мы можем повторно выразить da через dT:

\begin{align}
a &= (\gamma RT)^{1/2}\\
da &= \frac{1}{2}(\gamma RT)^{-1/2}\cdot \gamma R dT\\
da &= \frac{\gamma R}{2 a} dT
\end{align}
|
Замена (
\begin{align}
du &= a dM + M\frac{\gamma R}{2 a} dT\\
\frac{du}{u} &= \frac{dM}{M} + \frac{\gamma R}{2 a^2} dT\\
&= \frac{dM}{M} + \frac{\cancel{\gamma R{2 \cancel{\gamma R} T} dT\\
\frac{du}{u} &= \frac{dM}{M} + \frac{1}{2} \frac{dT}{T}
\end{align}
|
Теперь мы можем повторно выразить dT через du:

\begin{align}
h_0 &= c_p T + \frac{1}{2} u^2\\
\cancel{dh_0} &= c_p dT + udu = 0\\
dT &= -udu \left( \frac{1}{c_p} \right)\\
\frac{dT}{T} &= \frac{-udu}{T} \left( \frac{\gamma - 1}{\gamma R} \right)\\
&= \frac{-udu}{a^2} (\gamma - 1)\\
&= \frac{-udu M^2}{u^2}(\gamma - 1)\\
\frac{dT}{T} &= -M^2(\gamma - 1)\frac{du}{u}
\end{align}
|
Подставив (
\begin{align}
\frac{du}{u} &= \frac{dM}{M} - \frac{M^2 (\gamma - 1)}{2} \frac{du}{u}\\
\frac{dM}{M} &= \frac{du}{u} \left( 1 + \frac{M^2 (\gamma - 1)}{2} \right) \\
\frac{du}{u} &= \frac{dM}{M} \left( 1+\frac{M^2 (\gamma - 1)}{2} \right) ^{-1}
\end{align}
|
Наконец, выражение (
\begin{align}
\frac{dm}{m} &= - \left[ \frac{dM}{M} \left( 1+\frac{M^2 (\gamma - 1)}{2} \right) ^{-1 } \right] \cdot [M^2 -1]
\end{align}
|

Это соотношение массы и Маха для впрыска массы в устойчивый, адиабатический, без трения, поток с постоянной площадью калорически совершенного газа.

== Другое ==

Подробнее: https://en.wikipedia.org/wiki/Mass_injection_flow