Пространство Gδ ⇐ Васина Википедия

[wiki_de]

'''Gδ-пространство''' (или '''совершенное пространствоEngelking, 1.5.H(a), стр. 48''') находится в математика|математический раздел топологии (математика)|топология топологическое пространство с особым соотношением открытых и замкнутых множеств.

== Определение ==
По определению топологии только конечные разрезы открытых подмножеств снова открыты и только конечные объединения замкнутых подмножеств снова закрыты. Счетный разрез открытых подмножеств (т.е. не обязательно открытый) становится Gδ-множеством|Gδ-множеством, а счетное объединение замкнутых подмножеств (т.е. не обязательно замкнутым) становится Fσ-множеством|F называется σ-множеством. И наоборот, может даже случиться так, что множества Gδ закрыты, а множества Fσ открыты, например:

: \bigcap_{n\geq 1}\left(-\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)
=\{0\};
: \bigcup_{n\geq 2}\left[\frac{1}{n},1-\frac{1}{n}\right]
=(0,1).

Топологическое пространство, в котором каждое замкнутое подмножество является Gδ-множеством|Gδ-множеством или, что то же самое, каждое открытое подмножество является Fσ-множеством|Fσ-множеством, называется G δ-пространством.Steen & Seebach, p. 162

== Важные предложения ==

* Теорема Мазуркевича: в метрическом пространстве каждое полностью метрическое подмножество всегда является Gδ-множеством. Теорему доказал Стефан Мазуркевич в 1916 году.
* Теорема Хаусдорфа Gδ|Теорема Хаусдорфа Gδ: В полном метрическом пространстве множество Gδ всегда полностью метризуемо. Теорема была доказана в 1924 году Паулем Александровым для частного случая сепарабельного пространства (т.е. польского пространства), а также в 1924 году Феликсом Хаусдорфом для несепарабельных пространств.

== См. также ==

* P-пространство, двойственное понятие Gδ-пространству

== Литература ==

* * * *

* nlab:G-delta+subspace|G-delta subspace на 𝑛Lab|nLab (английский язык|английский)



Категория:Топологическое пространство

Подробнее: https://de.wikipedia.org/wiki/G%CE%B4-Raum